Номер 4.55, страница 36, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 4.55, страница 36.

Условие.

4.55 $\frac{1}{2z^2 + 5z} - \frac{2}{25 - 10z} - \frac{4}{4z^2 - 25} = \frac{1}{5z}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 6.

Для решения данного уравнения сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $z$, при которых знаменатели обращаются в ноль.

1. $2z^2 + 5z = z(2z + 5) \neq 0 \implies z \neq 0$ и $z \neq -2.5$.

2. $25 - 10z = 5(5 - 2z) \neq 0 \implies z \neq 2.5$.

3. $4z^2 - 25 = (2z - 5)(2z + 5) \neq 0 \implies z \neq 2.5$ и $z \neq -2.5$.

4. $5z \neq 0 \implies z \neq 0$.

Таким образом, ОДЗ: $z$ — любое действительное число, кроме $0$, $2.5$ и $-2.5$.

Теперь преобразуем левую часть уравнения. Для удобства вынесем минус из знаменателя второй дроби:

$$ \frac{1}{2z^2 + 5z} - \frac{2}{-(10z - 25)} - \frac{4}{4z^2 - 25} = \frac{1}{5z} $$

$$ \frac{1}{2z^2 + 5z} + \frac{2}{10z - 25} - \frac{4}{4z^2 - 25} = \frac{1}{5z} $$

Разложим знаменатели на множители:

$$ \frac{1}{z(2z + 5)} + \frac{2}{5(2z - 5)} - \frac{4}{(2z - 5)(2z + 5)} = \frac{1}{5z} $$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю, который равен $5z(2z - 5)(2z + 5)$:

$$ \frac{1 \cdot 5(2z - 5)}{5z(2z + 5)(2z - 5)} + \frac{2 \cdot z(2z + 5)}{5z(2z - 5)(2z + 5)} - \frac{4 \cdot 5z}{5z(2z - 5)(2z + 5)} = \frac{1}{5z} $$

Сложим и вычтем числители:

$$ \frac{5(2z - 5) + 2z(2z + 5) - 20z}{5z(2z - 5)(2z + 5)} = \frac{1}{5z} $$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$$ \frac{10z - 25 + 4z^2 + 10z - 20z}{5z(4z^2 - 25)} = \frac{1}{5z} $$

$$ \frac{4z^2 + (10z + 10z - 20z) - 25}{5z(4z^2 - 25)} = \frac{1}{5z} $$

$$ \frac{4z^2 - 25}{5z(4z^2 - 25)} = \frac{1}{5z} $$

Так как из ОДЗ следует, что $4z^2 - 25 \neq 0$, мы можем сократить дробь в левой части на $(4z^2 - 25)$:

$$ \frac{1}{5z} = \frac{1}{5z} $$

Полученное равенство является тождеством, то есть оно верно для всех значений переменной $z$, входящих в область допустимых значений.

Ответ: $z$ — любое действительное число, кроме $z = -2.5$, $z = 0$ и $z = 2.5$.