Номер 5.5, страница 37, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 5. Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение алгебраической дроби в степень. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 5.5, страница 37.

Условие.

5.5 а) $\frac{a^2}{6} : \frac{a}{3}$;

б) $\frac{24}{b^2} \cdot \frac{b^3}{36}$;

в) $\frac{n^{24}}{28} : \frac{n^{39}}{56}$;

г) $\frac{m^5}{10} \cdot \frac{100}{m^{12}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

a) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую):
$\frac{a^2}{6} : \frac{a}{3} = \frac{a^2}{6} \cdot \frac{3}{a}$
Теперь перемножим числители и знаменатели дробей:
$\frac{a^2 \cdot 3}{6 \cdot a} = \frac{3a^2}{6a}$
Сократим полученную дробь. Для этого сократим числовые коэффициенты и переменные. Числа $\frac{3}{6}$ сокращаются на 3, в результате получаем $\frac{1}{2}$. Переменные $\frac{a^2}{a}$ сокращаются на $a$, в результате, по свойству степеней, получаем $a^{2-1} = a$.
Объединив результаты, получаем итоговое выражение:
$\frac{1 \cdot a}{2} = \frac{a}{2}$
Ответ: $\frac{a}{2}$

б) Чтобы перемножить две дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели соответственно:
$\frac{24}{b^2} \cdot \frac{b^3}{36} = \frac{24 \cdot b^3}{b^2 \cdot 36} = \frac{24b^3}{36b^2}$
Теперь сократим полученную дробь. Сократим числовые коэффициенты $\frac{24}{36}$. Наибольший общий делитель для 24 и 36 равен 12. Разделив числитель и знаменатель на 12, получим $\frac{24:12}{36:12} = \frac{2}{3}$.
Сократим переменные, используя свойство степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$: $\frac{b^3}{b^2} = b^{3-2} = b^1 = b$.
Объединив результаты, получаем:
$\frac{2 \cdot b}{3} = \frac{2b}{3}$
Ответ: $\frac{2b}{3}$

в) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:
$\frac{n^{24}}{28} : \frac{n^{39}}{56} = \frac{n^{24}}{28} \cdot \frac{56}{n^{39}}$
Перемножим числители и знаменатели:
$\frac{n^{24} \cdot 56}{28 \cdot n^{39}} = \frac{56n^{24}}{28n^{39}}$
Сократим числовые коэффициенты: $\frac{56}{28} = 2$.
Сократим переменные по свойству степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$: $\frac{n^{24}}{n^{39}} = n^{24-39} = n^{-15}$.
Используя определение степени с отрицательным показателем $x^{-k} = \frac{1}{x^k}$, получаем $n^{-15} = \frac{1}{n^{15}}$.
В результате получаем: $2 \cdot \frac{1}{n^{15}} = \frac{2}{n^{15}}$.
Ответ: $\frac{2}{n^{15}}$

г) Чтобы перемножить две дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели:
$\frac{m^5}{10} \cdot \frac{100}{m^{12}} = \frac{m^5 \cdot 100}{10 \cdot m^{12}} = \frac{100m^5}{10m^{12}}$
Сократим числовые коэффициенты: $\frac{100}{10} = 10$.
Сократим переменные, используя свойство степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$: $\frac{m^5}{m^{12}} = m^{5-12} = m^{-7}$.
Используя определение степени с отрицательным показателем $x^{-k} = \frac{1}{x^k}$, получаем $m^{-7} = \frac{1}{m^7}$.
Объединив результаты, получаем: $10 \cdot \frac{1}{m^7} = \frac{10}{m^7}$.
Ответ: $\frac{10}{m^7}$