Номер 5.28, страница 40, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 5. Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение алгебраической дроби в степень. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 5.28, страница 40.

Условие.

Упростите выражение:

5.28 a) $ \frac{a^2}{x} \cdot \left(\frac{x^2}{a^3}\right)^2; $

б) $ \left(\frac{p}{x^3}\right)^3 : \left(\frac{p^2}{x^3}\right)^2; $

в) $ \left(\frac{a^3b}{c^4}\right)^5 \cdot \left(\frac{c^7}{a^5b^2}\right)^3; $

г) $ \left(\frac{x^6y^8}{z^5}\right)^5 : \frac{x^{10}y^{13}}{z^8}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для упрощения выражения $ \frac{a^2}{x} \cdot (\frac{x^2}{a^3})^2 $ сначала возведем в степень дробь в скобках. Используем свойство степени дроби $ (\frac{A}{B})^n = \frac{A^n}{B^n} $ и свойство степени степени $ (A^m)^n = A^{mn} $.
$ (\frac{x^2}{a^3})^2 = \frac{(x^2)^2}{(a^3)^2} = \frac{x^{2 \cdot 2}}{a^{3 \cdot 2}} = \frac{x^4}{a^6} $.
Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное:
$ \frac{a^2}{x} \cdot \frac{x^4}{a^6} = \frac{a^2 \cdot x^4}{x \cdot a^6} $.
Сократим дробь, используя свойство частного степеней с одинаковым основанием $ \frac{A^m}{A^n} = A^{m-n} $:
$ \frac{a^2}{a^6} \cdot \frac{x^4}{x^1} = a^{2-6} \cdot x^{4-1} = a^{-4} \cdot x^3 = \frac{x^3}{a^4} $.
Ответ: $ \frac{x^3}{a^4} $

б) Упростим выражение $ (\frac{p}{x^3})^3 : (\frac{p^2}{x^3})^2 $. Сначала возведем в степень каждую из дробей.
$ (\frac{p}{x^3})^3 = \frac{p^3}{(x^3)^3} = \frac{p^3}{x^9} $
$ (\frac{p^2}{x^3})^2 = \frac{(p^2)^2}{(x^3)^2} = \frac{p^4}{x^6} $
Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь:
$ \frac{p^3}{x^9} : \frac{p^4}{x^6} = \frac{p^3}{x^9} \cdot \frac{x^6}{p^4} = \frac{p^3 x^6}{x^9 p^4} $.
Сократим полученную дробь:
$ \frac{p^3}{p^4} \cdot \frac{x^6}{x^9} = p^{3-4} \cdot x^{6-9} = p^{-1} \cdot x^{-3} = \frac{1}{p} \cdot \frac{1}{x^3} = \frac{1}{px^3} $.
Ответ: $ \frac{1}{px^3} $

в) Упростим выражение $ (\frac{a^3b}{c^4})^5 \cdot (\frac{c^7}{a^5b^2})^3 $. Возведем в степень каждую из дробей.
$ (\frac{a^3b}{c^4})^5 = \frac{(a^3)^5 b^5}{(c^4)^5} = \frac{a^{15}b^5}{c^{20}} $
$ (\frac{c^7}{a^5b^2})^3 = \frac{(c^7)^3}{(a^5)^3 (b^2)^3} = \frac{c^{21}}{a^{15}b^6} $
Теперь перемножим полученные дроби:
$ \frac{a^{15}b^5}{c^{20}} \cdot \frac{c^{21}}{a^{15}b^6} = \frac{a^{15}b^5 c^{21}}{c^{20} a^{15} b^6} $.
Сократим дробь, группируя переменные с одинаковыми основаниями:
$ \frac{a^{15}}{a^{15}} \cdot \frac{b^5}{b^6} \cdot \frac{c^{21}}{c^{20}} = a^{15-15} \cdot b^{5-6} \cdot c^{21-20} = a^0 \cdot b^{-1} \cdot c^1 = 1 \cdot \frac{1}{b} \cdot c = \frac{c}{b} $.
Ответ: $ \frac{c}{b} $

г) Упростим выражение $ (\frac{x^6y^8}{z^5})^5 : \frac{x^{10}y^{13}}{z^8} $. Сначала возведем в степень первую дробь.
$ (\frac{x^6y^8}{z^5})^5 = \frac{(x^6)^5 (y^8)^5}{(z^5)^5} = \frac{x^{30}y^{40}}{z^{25}} $.
Теперь выполним деление. Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$ \frac{x^{30}y^{40}}{z^{25}} : \frac{x^{10}y^{13}}{z^8} = \frac{x^{30}y^{40}}{z^{25}} \cdot \frac{z^8}{x^{10}y^{13}} = \frac{x^{30}y^{40}z^8}{z^{25}x^{10}y^{13}} $.
Сократим полученную дробь:
$ \frac{x^{30}}{x^{10}} \cdot \frac{y^{40}}{y^{13}} \cdot \frac{z^8}{z^{25}} = x^{30-10} \cdot y^{40-13} \cdot z^{8-25} = x^{20} \cdot y^{27} \cdot z^{-17} = \frac{x^{20}y^{27}}{z^{17}} $.
Ответ: $ \frac{x^{20}y^{27}}{z^{17}} $