Номер 9.7, страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 9. Комбинаторные и вероятностные задачи. Дерево вариантов и правило нахождения вероятности. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 9.7, страница 56.

Условие.

9.7 На столе решками вверх лежат 4 неразличимые по виду рублёвые монеты. Три из них настоящие, а одна — фальшивая, у которой на обороте ничего не изображено. Наудачу берут поочерёдно три монеты. Настоящую монету кладут в кошелёк, а фальшивую — выбрасывают.

а) Нарисуйте дерево вариантов состава монет на столе.

б) В скольких случаях в кошелёк будет добавлено 3 рубля?

в) Какова вероятность того, что в кошелёк ничего не будет добавлено?

г) Какова вероятность того, что в кошелёк будет добавлено ровно 2 рубля?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Нарисуйте дерево вариантов состава монет на столе.

Для построения дерева вариантов обозначим настоящую монету буквой 'Н', а фальшивую – 'Ф'. Изначально на столе находятся 4 монеты: 3 настоящие и 1 фальшивая (состав: 3Н, 1Ф). Мы последовательно берем 3 монеты. Дерево будет отображать последовательность взятых монет и вероятности на каждом шаге.

• Первая монета:
  • С вероятностью $3/4$ будет взята настоящая монета (Н). На столе останется 2Н и 1Ф.
    • Вторая монета:
      • С вероятностью $2/3$ будет взята настоящая монета (Н). На столе останется 1Н и 1Ф.
        • Третья монета:
          • С вероятностью $1/2$ будет взята настоящая монета (Н). Итог: ННН.
          • С вероятностью $1/2$ будет взята фальшивая монета (Ф). Итог: ННФ.
      • С вероятностью $1/3$ будет взята фальшивая монета (Ф). На столе останется 2Н.
        • Третья монета:
          • С вероятностью $2/2 = 1$ будет взята настоящая монета (Н). Итог: НФН.
  • С вероятностью $1/4$ будет взята фальшивая монета (Ф). На столе останется 3Н.
    • Вторая монета:
      • С вероятностью $3/3 = 1$ будет взята настоящая монета (Н). На столе останется 2Н.
        • Третья монета:
          • С вероятностью $2/2 = 1$ будет взята настоящая монета (Н). Итог: ФНН.

Ответ: Дерево вариантов, описывающее возможные последовательности взятых монет, представлено выше.

б) В скольких случаях в кошелёк будет добавлено 3 рубля?

Чтобы в кошелёк было добавлено 3 рубля, необходимо, чтобы все три взятые монеты были настоящими. Согласно построенному дереву вариантов, такая последовательность (комбинация исходов) только одна: ННН (настоящая, настоящая, настоящая).

Ответ: 1.

в) Какова вероятность того, что в кошелёк ничего не будет добавлено?

Чтобы в кошелёк ничего не было добавлено, необходимо, чтобы ни одна из трех взятых монет не была настоящей. Это означает, что все три монеты должны быть фальшивыми. Однако, по условию задачи, на столе есть только одна фальшивая монета. Следовательно, невозможно взять три фальшивые монеты. Данное событие является невозможным, а вероятность невозможного события равна нулю.

Ответ: 0.

г) Какова вероятность того, что в кошелёк будет добавлено ровно 2 рубля?

Чтобы в кошелёк было добавлено ровно 2 рубля, необходимо взять две настоящие монеты и одну фальшивую. Из дерева вариантов видно, что этому условию соответствуют три взаимоисключающих последовательности исходов: ННФ, НФН и ФНН. Найдем вероятность каждой из них и сложим их.

Вероятность последовательности ННФ:

$P(\text{ННФ}) = P(\text{1-я Н}) \cdot P(\text{2-я Н | 1-я Н}) \cdot P(\text{3-я Ф | 1-я и 2-я Н}) = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$

Вероятность последовательности НФН:

$P(\text{НФН}) = P(\text{1-я Н}) \cdot P(\text{2-я Ф | 1-я Н}) \cdot P(\text{3-я Н | 1-я Н и 2-я Ф}) = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

Вероятность последовательности ФНН:

$P(\text{ФНН}) = P(\text{1-я Ф}) \cdot P(\text{2-я Н | 1-я Ф}) \cdot P(\text{3-я Н | 1-я Ф и 2-я Н}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3} \cdot \frac{2}{2} = \frac{1}{4}$

Суммарная вероятность равна сумме вероятностей этих трех исходов:

$P(\text{2 рубля}) = P(\text{ННФ}) + P(\text{НФН}) + P(\text{ФНН}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Ответ: $3/4$.