Номер 7, страница 57, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №1. Вариант 1. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 7, страница 57.

Условие.

7 Найдите значение выражения $\left(\frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1}\right) : \left(\frac{x^2+1}{x^2-1} - \frac{x^2-1}{x^2+1}\right)$ при $x = -3\frac{3}{4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для нахождения значения выражения сначала упростим его, выполнив алгебраические преобразования по действиям.

1. Упрощение выражения в первых скобках
Приведем дроби $ \frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1} $ к общему знаменателю $ (x-1)(x+1) = x^2-1 $.
$ \frac{(x+1)(x+1)}{(x-1)(x+1)} - \frac{(x-1)(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{(x+1)^2 - (x-1)^2}{x^2-1} $
В числителе применим формулу разности квадратов $ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $, где $ a=x+1 $ и $ b=x-1 $:
$ \frac{((x+1)-(x-1))((x+1)+(x-1))}{x^2-1} = \frac{(x+1-x+1)(x+1+x-1)}{x^2-1} = \frac{2 \cdot 2x}{x^2-1} = \frac{4x}{x^2-1} $

2. Упрощение выражения во вторых скобках
Приведем дроби $ \frac{x^2+1}{x^2-1} - \frac{x^2-1}{x^2+1} $ к общему знаменателю $ (x^2-1)(x^2+1) $.
$ \frac{(x^2+1)^2 - (x^2-1)^2}{(x^2-1)(x^2+1)} $
Аналогично первому действию, применим в числителе формулу разности квадратов, где $ a=x^2+1 $ и $ b=x^2-1 $:
$ \frac{((x^2+1)-(x^2-1))((x^2+1)+(x^2-1))}{(x^2-1)(x^2+1)} = \frac{(x^2+1-x^2+1)(x^2+1+x^2-1)}{(x^2-1)(x^2+1)} = \frac{2 \cdot 2x^2}{(x^2-1)(x^2+1)} = \frac{4x^2}{(x^2-1)(x^2+1)} $

3. Выполнение деления
Теперь разделим результат первого действия на результат второго:
$ \frac{4x}{x^2-1} : \frac{4x^2}{(x^2-1)(x^2+1)} $
Заменяем деление на умножение на обратную дробь и сокращаем:
$ \frac{4x}{x^2-1} \cdot \frac{(x^2-1)(x^2+1)}{4x^2} = \frac{4x \cdot (x^2-1)(x^2+1)}{(x^2-1) \cdot 4x^2} = \frac{x^2+1}{x} $

4. Подстановка значения $x$
Получили упрощенное выражение $ \frac{x^2+1}{x} $. Подставим в него заданное значение $ x = -3\frac{3}{4} $.
Сначала переведем смешанное число в неправильную дробь:
$ x = -3\frac{3}{4} = -\frac{3 \cdot 4 + 3}{4} = -\frac{15}{4} $
Теперь вычислим значение выражения:
$ \frac{x^2+1}{x} = \frac{(-\frac{15}{4})^2 + 1}{-\frac{15}{4}} = \frac{\frac{225}{16} + 1}{-\frac{15}{4}} = \frac{\frac{225}{16} + \frac{16}{16}}{-\frac{15}{4}} = \frac{\frac{241}{16}}{-\frac{15}{4}} $
Чтобы разделить дроби, умножим числитель на перевернутый знаменатель:
$ \frac{241}{16} \cdot (-\frac{4}{15}) = -\frac{241 \cdot 4}{16 \cdot 15} = -\frac{241}{4 \cdot 15} = -\frac{241}{60} $
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$ -\frac{241}{60} = -4\frac{1}{60} $

Ответ: $ -4\frac{1}{60} $