Номер 4, страница 57, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №1. Вариант 1. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 4, страница 57.

Условие.

4 Упростите выражение $\frac{2}{9p - 12q} - \frac{4}{9p + 12q} + \frac{4p}{16q^2 - 9p^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для того чтобы упростить данное выражение, необходимо привести все дроби к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби: $9p - 12q = 3(3p - 4q)$.

Знаменатель второй дроби: $9p + 12q = 3(3p + 4q)$.

Знаменатель третьей дроби: $16q^2 - 9p^2$. Это разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Получаем: $16q^2 - 9p^2 = (4q)^2 - (3p)^2 = (4q - 3p)(4q + 3p)$.

Теперь перепишем исходное выражение с разложенными на множители знаменателями:

$\frac{2}{3(3p - 4q)} - \frac{4}{3(3p + 4q)} + \frac{4p}{(4q - 3p)(4q + 3p)}$

Заметим, что множитель $(4q - 3p)$ в знаменателе третьей дроби можно представить как $-(3p - 4q)$. Преобразуем третью дробь, вынеся минус за знак дроби:

$\frac{4p}{(4q - 3p)(4q + 3p)} = \frac{4p}{-(3p - 4q)(4q + 3p)} = -\frac{4p}{(3p - 4q)(3p + 4q)}$

Теперь все выражение выглядит так:

$\frac{2}{3(3p - 4q)} - \frac{4}{3(3p + 4q)} - \frac{4p}{(3p - 4q)(3p + 4q)}$

Общим знаменателем для всех трех дробей будет $3(3p - 4q)(3p + 4q)$. Приведем каждую дробь к этому знаменателю, домножив числитель и знаменатель на недостающие множители.

Дополнительный множитель для первой дроби: $(3p + 4q)$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $(3p - 4q)$.

Дополнительный множитель для третьей дроби: $3$.

$\frac{2(3p + 4q)}{3(3p - 4q)(3p + 4q)} - \frac{4(3p - 4q)}{3(3p - 4q)(3p + 4q)} - \frac{4p \cdot 3}{3(3p - 4q)(3p + 4q)}$

Теперь запишем все под одной дробной чертой:

$\frac{2(3p + 4q) - 4(3p - 4q) - 12p}{3(3p - 4q)(3p + 4q)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$2(3p + 4q) - 4(3p - 4q) - 12p = 6p + 8q - 12p + 16q - 12p = (6p - 12p - 12p) + (8q + 16q) = -18p + 24q$

Перегруппируем слагаемые в числителе и вынесем общий множитель 6 за скобки: $24q - 18p = 6(4q - 3p)$.

Подставим полученный числитель обратно в дробь:

$\frac{6(4q - 3p)}{3(3p - 4q)(3p + 4q)}$

Снова используем тот факт, что $4q - 3p = -(3p - 4q)$:

$\frac{6 \cdot (-(3p - 4q))}{3(3p - 4q)(3p + 4q)} = \frac{-6(3p - 4q)}{3(3p - 4q)(3p + 4q)}$

Сократим общие множители $3$ и $(3p - 4q)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{-2 \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{(3p - 4q)}}{\cancel{3} \cdot \cancel{(3p - 4q)} \cdot (3p + 4q)} = \frac{-2}{3p + 4q}$

Ответ: $\frac{-2}{3p + 4q}$.