Номер 8, страница 57, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №1. Вариант 1. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 8, страница 57.

Условие.

8 Упростите выражение $(c^{-1} + d^{-1})^{-1} \cdot \left(\frac{2}{d^{-2}} - \frac{2}{c^{-2}}\right)$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для упрощения данного выражения выполним преобразования по действиям.

Исходное выражение: $(c^{-1} + d^{-1})^{-1} \cdot \left(\frac{2}{d^{-2}} - \frac{2}{c^{-2}}\right)$.

1. Упростим первый множитель $(c^{-1} + d^{-1})^{-1}$. Сначала преобразуем степени с отрицательным показателем внутри скобок, используя правило $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$c^{-1} + d^{-1} = \frac{1}{c} + \frac{1}{d}$

Приведем дроби к общему знаменателю $cd$:

$\frac{1}{c} + \frac{1}{d} = \frac{d}{cd} + \frac{c}{cd} = \frac{c+d}{cd}$

Теперь возведем полученную дробь в степень -1, что эквивалентно нахождению обратной дроби:

$(c^{-1} + d^{-1})^{-1} = \left(\frac{c+d}{cd}\right)^{-1} = \frac{cd}{c+d}$

2. Упростим второй множитель $\left(\frac{2}{d^{-2}} - \frac{2}{c^{-2}}\right)$. Используя то же правило $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, преобразуем знаменатели:

$\frac{2}{d^{-2}} - \frac{2}{c^{-2}} = \frac{2}{1/d^2} - \frac{2}{1/c^2} = 2d^2 - 2c^2$

Вынесем общий множитель 2 за скобки и применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$2d^2 - 2c^2 = 2(d^2 - c^2) = 2(d-c)(d+c)$

3. Перемножим результаты, полученные в шагах 1 и 2:

$\frac{cd}{c+d} \cdot 2(d-c)(d+c)$

Сократим общий множитель $(c+d)$ в числителе и знаменателе (это возможно, так как из условия $c^{-1}+d^{-1} \neq 0$ следует, что $c+d \neq 0$):

$\frac{cd}{\cancel{c+d}} \cdot 2(d-c)(\cancel{d+c}) = 2cd(d-c)$

Ответ: $2cd(d-c)$.