Номер 10, страница 57, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №1. Вариант 1. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 10, страница 57.

Условие.

10 Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования.

Катер проходит 21 км по течению реки на 15 мин быстрее, чем то же расстояние против течения. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 1 км/ч.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение задачи с использованием трех этапов математического моделирования:

1. Составление математической модели

На этом этапе мы переводим условия задачи на язык математики. Основная цель — составить уравнение, связывающее известные и неизвестные величины.

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость катера. Это искомая величина. Поскольку катер должен иметь возможность двигаться против течения, его собственная скорость должна быть больше скорости течения: $x > 1$.

• Скорость катера по течению реки: $v_{по} = (x + 1)$ км/ч.
• Скорость катера против течения реки: $v_{против} = (x - 1)$ км/ч.

Расстояние $S$ в обоих случаях одинаково и равно 21 км. Время движения ($t$) вычисляется по формуле $t = S/v$.

• Время движения по течению: $t_{по} = \frac{21}{x + 1}$ ч.
• Время движения против течения: $t_{против} = \frac{21}{x - 1}$ ч.

По условию, время движения по течению на 15 минут меньше, чем против течения. Переведем разницу во времени в часы:

$15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4} \text{ ч}$.

Поскольку время движения против течения больше, то разница $t_{против} - t_{по}$ будет положительной. Составим уравнение:

$\frac{21}{x - 1} - \frac{21}{x + 1} = \frac{1}{4}$

Это уравнение является математической моделью задачи.

2. Работа с математической моделью

На этом этапе решаем полученное рациональное уравнение относительно переменной $x$.

$\frac{21}{x - 1} - \frac{21}{x + 1} = \frac{1}{4}$

Приведем левую часть к общему знаменателю $(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$:

$\frac{21(x + 1) - 21(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{1}{4}$

$\frac{21x + 21 - 21x + 21}{x^2 - 1} = \frac{1}{4}$

$\frac{42}{x^2 - 1} = \frac{1}{4}$

Используем основное свойство пропорции:

$1 \cdot (x^2 - 1) = 42 \cdot 4$

$x^2 - 1 = 168$

$x^2 = 169$

Уравнение имеет два корня:

$x_1 = \sqrt{169} = 13$

$x_2 = -\sqrt{169} = -13$

3. Интерпретация результата

На этом этапе мы анализируем полученные математические решения и соотносим их с условиями исходной задачи.

Мы получили два корня: $x_1 = 13$ и $x_2 = -13$.

Переменная $x$ обозначает собственную скорость катера, которая по своему физическому смыслу является величиной положительной. Поэтому корень $x_2 = -13$ не подходит.

Корень $x_1 = 13$ является положительным числом и удовлетворяет условию $x > 1$ ($13 > 1$), которое мы определили на первом этапе. Следовательно, это и есть решение задачи.

Собственная скорость катера равна 13 км/ч.

Проверим результат:

• Скорость по течению: $13 + 1 = 14$ км/ч. Время: $t_{по} = \frac{21}{14} = 1,5$ ч.
• Скорость против течения: $13 - 1 = 12$ км/ч. Время: $t_{против} = \frac{21}{12} = \frac{7}{4} = 1,75$ ч.
• Разница во времени: $t_{против} - t_{по} = 1,75 - 1,5 = 0,25$ ч.

$0,25$ ч $= \frac{1}{4}$ ч $= 15$ минут. Результат верен.

Ответ: 13 км/ч.