Номер 5, страница 57, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №1. Вариант 1. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 5, страница 57.

Условие.

5 Упростите выражение $\frac{8k + k^2 + 16}{15k^2 + 3k} : \frac{16 - k^2}{25k^2 - 1}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для того чтобы упростить данное выражение, необходимо выполнить последовательно несколько шагов: заменить операцию деления на умножение на обратную дробь, разложить на множители числители и знаменатели обеих дробей, а затем сократить общие множители.

Исходное выражение:

$$ \frac{8k + k^2 + 16}{15k^2 + 3k} : \frac{16 - k^2}{25k^2 - 1} $$

1. Замена деления на умножение

Согласно правилу деления дробей, деление заменяется умножением на дробь, обратную делителю:

$$ \frac{8k + k^2 + 16}{15k^2 + 3k} \cdot \frac{25k^2 - 1}{16 - k^2} $$

2. Разложение на множители

Теперь разложим на множители каждый числитель и знаменатель, используя формулы сокращенного умножения и вынесение общего множителя за скобки.

• Числитель первой дроби: $8k + k^2 + 16$. Расположим члены в стандартном порядке: $k^2 + 8k + 16$. Это формула квадрата суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$. В нашем случае $a=k$ и $b=4$.

  $$ k^2 + 8k + 16 = (k+4)^2 $$

• Знаменатель первой дроби: $15k^2 + 3k$. Вынесем за скобки общий множитель $3k$.

  $$ 15k^2 + 3k = 3k(5k+1) $$

• Числитель второй дроби (бывший знаменатель делителя): $25k^2 - 1$. Это формула разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. В нашем случае $a=5k$ и $b=1$.

  $$ 25k^2 - 1 = (5k-1)(5k+1) $$

• Знаменатель второй дроби (бывший числитель делителя): $16 - k^2$. Это также формула разности квадратов. В нашем случае $a=4$ и $b=k$.

  $$ 16 - k^2 = (4-k)(4+k) $$

3. Подстановка и сокращение

Подставим разложенные выражения обратно в наше произведение:

$$ \frac{(k+4)^2}{3k(5k+1)} \cdot \frac{(5k-1)(5k+1)}{(4-k)(4+k)} $$

Заметим, что $(k+4)^2 = (k+4)(k+4)$ и $(4+k) = (k+4)$. Теперь мы можем сократить общие множители в числителе и знаменателе. Сокращаем $(k+4)$ и $(5k+1)$:

$$ \frac{(k+4)\cancel{(k+4)}}{3k\cancel{(5k+1)}} \cdot \frac{(5k-1)\cancel{(5k+1)}}{(4-k)\cancel{(k+4)}} $$

После сокращения получаем следующее выражение:

$$ \frac{k+4}{3k} \cdot \frac{5k-1}{4-k} $$

4. Итоговый результат

Теперь перемножим оставшиеся числители и знаменатели, чтобы получить окончательный ответ:

$$ \frac{(k+4)(5k-1)}{3k(4-k)} $$

Это выражение является упрощенным, так как дальнейшее сокращение невозможно.

Ответ: $$ \frac{(k+4)(5k-1)}{3k(4-k)} $$