Номер 2, страница 58, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №1. Вариант 2. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 2, страница 58.

Условие.

2 Сократите дробь $ \frac{x^2 + 2x - zy + y^2 - 2xy}{xy - y^2 + 2x + z^2} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для того чтобы сократить дробь, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

Сначала преобразуем числитель дроби: $x^2 + zx - zy + y^2 - 2xy$.

Сгруппируем слагаемые. Объединим члены $x^2, -2xy, y^2$, которые образуют полный квадрат разности, и отдельно слагаемые $zx, -zy$.

$(x^2 - 2xy + y^2) + (zx - zy)$

Применяя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ к первой группе и вынося общий множитель $z$ во второй, получаем:

$(x-y)^2 + z(x-y)$

Теперь можно вынести за скобки общий множитель $(x-y)$:

$(x-y)(x-y+z)$

Далее преобразуем знаменатель дроби: $xy - y^2 + zx + z^2$.

Сгруппируем слагаемые. Объединим члены с множителем $x$ и члены, содержащие квадраты $y$ и $z$.

$(xy + zx) + (z^2 - y^2)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $x$. Вторую группу разложим на множители по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x(y+z) + (z-y)(z+y)$

Вынесем за скобки общий множитель $(y+z)$ (или $(z+y)$):

$(y+z)(x + z - y)$

Переставим слагаемые во второй скобке для удобства: $(y+z)(x-y+z)$.

Теперь, когда числитель и знаменатель разложены на множители, подставим их обратно в дробь:

$$ \frac{(x-y)(x-y+z)}{(y+z)(x-y+z)} $$

Сократим общий множитель $(x-y+z)$, при условии, что он не равен нулю ($x-y+z \ne 0$).

После сокращения получаем итоговое выражение:

$$ \frac{x-y}{y+z} $$

Ответ: $\frac{x-y}{y+z}$.