Номер 4, страница 58, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №1. Вариант 2. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 4, страница 58.

Условие.

4 Упростите выражение $\frac{1}{6a - 4b} - \frac{1}{6a + 4b} + \frac{3a}{9a^2 - 4b^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для того чтобы упростить выражение, необходимо привести все дроби к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатели на множители. Исходное выражение:

$$ \frac{1}{6a - 4b} - \frac{1}{6a + 4b} + \frac{3a}{9a^2 - 4b^2} $$

Знаменатель первой дроби: $6a - 4b = 2(3a - 2b)$.

Знаменатель второй дроби: $6a + 4b = 2(3a + 2b)$.

Знаменатель третьей дроби является разностью квадратов: $9a^2 - 4b^2 = (3a)^2 - (2b)^2 = (3a - 2b)(3a + 2b)$.

Перепишем выражение с разложенными знаменателями:

$$ \frac{1}{2(3a - 2b)} - \frac{1}{2(3a + 2b)} + \frac{3a}{(3a - 2b)(3a + 2b)} $$

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для этих дробей — это $2(3a - 2b)(3a + 2b)$. Приведем каждую дробь к этому знаменателю, домножив числитель и знаменатель на недостающие множители:

$$ \frac{1 \cdot (3a + 2b)}{2(3a - 2b)(3a + 2b)} - \frac{1 \cdot (3a - 2b)}{2(3a - 2b)(3a + 2b)} + \frac{3a \cdot 2}{2(3a - 2b)(3a + 2b)} $$

Теперь, когда все дроби имеют одинаковый знаменатель, выполним действия с числителями:

$$ \frac{(3a + 2b) - (3a - 2b) + 6a}{2(3a - 2b)(3a + 2b)} $$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$$ \frac{3a + 2b - 3a + 2b + 6a}{2(3a - 2b)(3a + 2b)} = \frac{6a + 4b}{2(3a - 2b)(3a + 2b)} $$

Вынесем общий множитель 2 за скобки в числителе:

$$ \frac{2(3a + 2b)}{2(3a - 2b)(3a + 2b)} $$

Сократим общие множители $2$ и $(3a + 2b)$ в числителе и знаменателе:

$$ \frac{\cancel{2}(\cancel{3a + 2b})}{\cancel{2}(3a - 2b)(\cancel{3a + 2b})} = \frac{1}{3a - 2b} $$

Ответ: $ \frac{1}{3a - 2b} $.