Номер 6, страница 58, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №1. Вариант 2. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 6, страница 58.

Условие.

6 Упростите выражение $\frac{\frac{x+y}{x-y} - \frac{x-y}{x+y}}{\frac{x+y}{x-y} + \frac{x-y}{x+y}} : \frac{x^2y^2}{(x+y)^2 + (x-y)^2}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для упрощения данного выражения выполним действия по шагам. Обозначим всё выражение как $E$.

$E = \frac{\frac{x+y}{x-y} - \frac{x-y}{x+y}}{\frac{x+y}{x-y} + \frac{x-y}{x+y}} : \frac{x^2y^2}{(x+y)^2 + (x-y)^2}$

1. Упростим числитель большой дроби.

Приведём дроби к общему знаменателю $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$:
$ \frac{x+y}{x-y} - \frac{x-y}{x+y} = \frac{(x+y)(x+y)}{(x-y)(x+y)} - \frac{(x-y)(x-y)}{(x+y)(x-y)} = \frac{(x+y)^2 - (x-y)^2}{x^2 - y^2} $

Раскроем скобки в числителе, используя формулы сокращённого умножения $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:
$ (x^2+2xy+y^2) - (x^2-2xy+y^2) = x^2+2xy+y^2-x^2+2xy-y^2 = 4xy $

Таким образом, числитель большой дроби равен: $ \frac{4xy}{x^2 - y^2} $.

2. Упростим знаменатель большой дроби.

Аналогично приведём дроби к общему знаменателю $x^2 - y^2$:
$ \frac{x+y}{x-y} + \frac{x-y}{x+y} = \frac{(x+y)^2 + (x-y)^2}{x^2 - y^2} $

Раскроем скобки в числителе:
$ (x^2+2xy+y^2) + (x^2-2xy+y^2) = x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2 = 2x^2+2y^2 = 2(x^2+y^2) $

Таким образом, знаменатель большой дроби равен: $ \frac{2(x^2+y^2)}{x^2 - y^2} $.

3. Упростим всю большую дробь.

Теперь разделим выражение, полученное в шаге 1, на выражение из шага 2:
$ \frac{\frac{4xy}{x^2 - y^2}}{\frac{2(x^2+y^2)}{x^2 - y^2}} = \frac{4xy}{x^2 - y^2} \cdot \frac{x^2 - y^2}{2(x^2+y^2)} $

Сократим общий множитель $x^2 - y^2$:
$ \frac{4xy}{2(x^2+y^2)} = \frac{2xy}{x^2+y^2} $

4. Упростим делитель (вторую дробь в исходном выражении).

Рассмотрим знаменатель этой дроби. Мы его уже упрощали в шаге 2:
$ (x+y)^2 + (x-y)^2 = 2(x^2+y^2) $

Следовательно, вторая дробь равна:
$ \frac{x^2y^2}{2(x^2+y^2)} $

5. Выполним деление.

Теперь разделим результат шага 3 на результат шага 4. Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$ \frac{2xy}{x^2+y^2} : \frac{x^2y^2}{2(x^2+y^2)} = \frac{2xy}{x^2+y^2} \cdot \frac{2(x^2+y^2)}{x^2y^2} $

Сократим общий множитель $(x^2+y^2)$:
$ \frac{2xy \cdot 2}{x^2y^2} = \frac{4xy}{x^2y^2} $

Сократим дробь на $xy$ (при условии, что $x \neq 0$ и $y \neq 0$):
$ \frac{4}{xy} $

Ответ: $ \frac{4}{xy} $