Номер 9, страница 58, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №1. Вариант 2. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 9, страница 58.

Условие.

9 Докажите, что значение выражения

$\left( \frac{b}{b^2 - 36} - \frac{b - 6}{b^2 + 6b} \right) : \frac{2b - 6}{b^2 + 6b} - \frac{b}{b - 6}$

не зависит от значения переменной b.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для того чтобы доказать, что значение данного выражения не зависит от переменной $b$, необходимо его упростить. Мы будем выполнять действия по порядку: сначала действия в скобках, затем деление и в конце вычитание.

Начнем с выражения в скобках: $ \frac{b}{b^2 - 36} - \frac{b - 6}{b^2 + 6b} $. Разложим знаменатели на множители для нахождения общего знаменателя. Используем формулу разности квадратов для первого знаменателя и вынесение общего множителя для второго:

$ b^2 - 36 = (b - 6)(b + 6) $

$ b^2 + 6b = b(b + 6) $

Общим знаменателем является выражение $ b(b - 6)(b + 6) $. Приведем дроби к этому знаменателю:

$ \frac{b \cdot b}{b(b - 6)(b + 6)} - \frac{(b - 6)(b - 6)}{b(b - 6)(b + 6)} = \frac{b^2 - (b - 6)^2}{b(b - 6)(b + 6)} $

Упростим числитель, применив формулу разности квадратов $a^2-c^2=(a-c)(a+c)$:

$ b^2 - (b - 6)^2 = (b - (b - 6))(b + (b - 6)) = (b - b + 6)(b + b - 6) = 6(2b - 6) $

Таким образом, выражение в скобках равно $ \frac{6(2b - 6)}{b(b - 6)(b + 6)} $.

Теперь выполним деление. Результат, полученный в скобках, делим на дробь $ \frac{2b - 6}{b^2 + 6b} $:

$ \frac{6(2b - 6)}{b(b - 6)(b + 6)} : \frac{2b - 6}{b^2 + 6b} $

Заменяем деление на умножение на обратную дробь и раскладываем знаменатель второй дроби на множители:

$ \frac{6(2b - 6)}{b(b - 6)(b + 6)} \cdot \frac{b(b + 6)}{2b - 6} $

Теперь сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе: $ (2b-6) $, $ b $ и $ (b+6) $:

$ \frac{6 \cdot \cancel{(2b-6)}}{\cancel{b}(b-6)\cancel{(b+6)}} \cdot \frac{\cancel{b}\cancel{(b+6)}}{\cancel{2b-6}} = \frac{6}{b-6} $

Осталось выполнить последнее действие — вычитание:

$ \frac{6}{b - 6} - \frac{b}{b - 6} $

Так как дроби имеют общий знаменатель, вычитаем их числители:

$ \frac{6 - b}{b - 6} = \frac{-(b - 6)}{b - 6} = -1 $

В результате всех упрощений мы получили число $-1$. Это значение является постоянным и не зависит от переменной $b$. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: -1.