Номер 10, страница 58, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №1. Вариант 2. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 10, страница 58.

Условие.

10 Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования.

Моторная лодка проходит $16 \text{ км}$ по течению реки на $12 \text{ мин}$ быстрее, чем то же расстояние против течения. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна $2 \text{ км/ч}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 6.

1. Составление математической модели

Первый этап решения задачи — это перевод ее условий с обыденного языка на язык математики.

Пусть собственная скорость моторной лодки равна $x$ км/ч. Поскольку скорость течения реки равна 2 км/ч, то скорость лодки по течению составляет $(x + 2)$ км/ч, а скорость лодки против течения — $(x - 2)$ км/ч. Для того чтобы лодка могла двигаться против течения, ее собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x > 2$.

Расстояние в 16 км по течению лодка пройдет за время $t_1 = \frac{16}{x + 2}$ часов.

Расстояние в 16 км против течения лодка пройдет за время $t_2 = \frac{16}{x - 2}$ часов.

Из условия известно, что на путь по течению лодка затратила на 12 минут меньше, чем на путь против течения. Выразим 12 минут в часах, чтобы все единицы измерения были согласованы: $12 \text{ мин} = \frac{12}{60} \text{ ч} = \frac{1}{5} \text{ ч}$.

Теперь можно составить уравнение, которое связывает время движения по течению и против течения: $t_2 - t_1 = \frac{1}{5}$ $\frac{16}{x - 2} - \frac{16}{x + 2} = \frac{1}{5}$

Ответ: Математическая модель задачи — это уравнение $\frac{16}{x - 2} - \frac{16}{x + 2} = \frac{1}{5}$ при условии, что $x > 2$.

2. Работа с математической моделью

Второй этап — решение составленного уравнения. $\frac{16}{x - 2} - \frac{16}{x + 2} = \frac{1}{5}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x - 2)(x + 2) = x^2 - 4$: $\frac{16(x + 2) - 16(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{1}{5}$

Упростим числитель левой части: $\frac{16x + 32 - 16x + 32}{x^2 - 4} = \frac{1}{5}$ $\frac{64}{x^2 - 4} = \frac{1}{5}$

Используя основное свойство пропорции, получим: $1 \cdot (x^2 - 4) = 64 \cdot 5$ $x^2 - 4 = 320$

Решим полученное неполное квадратное уравнение: $x^2 = 324$ $x_1 = \sqrt{324} = 18$ $x_2 = -\sqrt{324} = -18$

Ответ: В результате решения уравнения получены два корня: $x_1 = 18$ и $x_2 = -18$.

3. Интерпретация результата

Третий этап — это анализ полученных математических результатов и формулировка ответа на вопрос задачи.

Мы получили два корня: 18 и -18. Теперь нужно соотнести их с условиями задачи. Собственная скорость лодки ($x$) — это физическая величина, которая не может быть отрицательной. Поэтому корень $x_2 = -18$ не является решением задачи.

Корень $x_1 = 18$ является положительным числом и удовлетворяет условию $x > 2$, установленному на первом этапе. Следовательно, собственная скорость лодки составляет 18 км/ч.

Проверим найденное решение:
Скорость по течению: $18 + 2 = 20$ км/ч. Время: $\frac{16}{20} = \frac{4}{5}$ ч = 48 мин.
Скорость против течения: $18 - 2 = 16$ км/ч. Время: $\frac{16}{16} = 1$ ч = 60 мин.
Разница во времени: $60 - 48 = 12$ мин.
Результат соответствует условию задачи.

Ответ: 18 км/ч.