Номер 8, страница 58, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №1. Вариант 2. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 8, страница 58.

Условие.

8 Упростите выражение $(x^{-2} - y^{-2}) \cdot \left(\frac{1}{x^{-1}} - \frac{1}{y^{-1}}\right)^{-2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для упрощения данного выражения выполним преобразования по шагам.

Шаг 1. Преобразование первого множителя $(x^{-2} - y^{-2})$

Используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, перепишем выражение:

$x^{-2} - y^{-2} = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}$

Приводим дроби к общему знаменателю $x^2y^2$:

$\frac{y^2}{x^2y^2} - \frac{x^2}{x^2y^2} = \frac{y^2 - x^2}{x^2y^2}$

Применяем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к числителю:

$\frac{(y-x)(y+x)}{x^2y^2}$

Шаг 2. Преобразование второго множителя $\left(\frac{1}{x^{-1}} - \frac{1}{y^{-1}}\right)^{-2}$

Сначала упростим выражение внутри скобок, используя свойство $\frac{1}{a^{-n}} = a^n$:

$\frac{1}{x^{-1}} - \frac{1}{y^{-1}} = x - y$

Теперь возведем полученное выражение в степень $-2$:

$(x-y)^{-2} = \frac{1}{(x-y)^2}$

Шаг 3. Умножение и сокращение

Теперь перемножим результаты, полученные на шагах 1 и 2:

$\frac{(y-x)(y+x)}{x^2y^2} \cdot \frac{1}{(x-y)^2}$

Заметим, что $(x-y)^2 = (-(y-x))^2 = (y-x)^2$. Это позволяет нам переписать выражение следующим образом:

$\frac{(y-x)(y+x)}{x^2y^2 (y-x)^2}$

Сокращаем дробь на общий множитель $(y-x)$ (при условии, что $x \neq y$):

$\frac{y+x}{x^2y^2(y-x)}$

Ответ: $\frac{x+y}{x^2y^2(y-x)}$