Страница 58, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. При каких значениях переменной алгебраическая дробь $ \frac{b + 5}{(b - 13)(b + 7)} $ равна нулю, а при каких не существует?

При каких значениях переменной алгебраическая дробь равна нулю

Алгебраическая дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом отличен от нуля. Для дроби $\frac{b+5}{(b-13)(b+7)}$ это соответствует системе условий:

$\begin{cases} b + 5 = 0 \\ (b-13)(b+7) \neq 0 \end{cases}$

Сначала решим первое уравнение системы:

$b + 5 = 0$

$b = -5$

Далее проверим, выполняется ли второе условие ($ (b-13)(b+7) \neq 0 $) при найденном значении $b = -5$. Подставим это значение в выражение для знаменателя:

$(-5 - 13)(-5 + 7) = (-18)(2) = -36$

Поскольку $-36 \neq 0$, второе условие выполняется. Следовательно, при $b = -5$ числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, что делает всю дробь равной нулю.

Ответ: дробь равна нулю при $b = -5$.

При каких значениях переменной алгебраическая дробь не существует

Алгебраическая дробь не существует (или говорят, что она не определена), когда ее знаменатель равен нулю, так как операция деления на ноль невозможна.

Найдем значения переменной $b$, при которых знаменатель дроби обращается в ноль. Для этого приравняем знаменатель к нулю:

$(b-13)(b+7) = 0$

Произведение равно нулю в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это дает нам два возможных случая:

1) $b - 13 = 0 \implies b = 13$

2) $b + 7 = 0 \implies b = -7$

Таким образом, при $b = 13$ и при $b = -7$ знаменатель дроби становится равным нулю.

Ответ: дробь не существует при $b = 13$ и $b = -7$.

2 Сократите дробь $ \frac{x^2 + 2x - zy + y^2 - 2xy}{xy - y^2 + 2x + z^2} $.

Для того чтобы сократить дробь, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

Сначала преобразуем числитель дроби: $x^2 + zx - zy + y^2 - 2xy$.

Сгруппируем слагаемые. Объединим члены $x^2, -2xy, y^2$, которые образуют полный квадрат разности, и отдельно слагаемые $zx, -zy$.

$(x^2 - 2xy + y^2) + (zx - zy)$

Применяя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ к первой группе и вынося общий множитель $z$ во второй, получаем:

$(x-y)^2 + z(x-y)$

Теперь можно вынести за скобки общий множитель $(x-y)$:

$(x-y)(x-y+z)$

Далее преобразуем знаменатель дроби: $xy - y^2 + zx + z^2$.

Сгруппируем слагаемые. Объединим члены с множителем $x$ и члены, содержащие квадраты $y$ и $z$.

$(xy + zx) + (z^2 - y^2)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $x$. Вторую группу разложим на множители по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x(y+z) + (z-y)(z+y)$

Вынесем за скобки общий множитель $(y+z)$ (или $(z+y)$):

$(y+z)(x + z - y)$

Переставим слагаемые во второй скобке для удобства: $(y+z)(x-y+z)$.

Теперь, когда числитель и знаменатель разложены на множители, подставим их обратно в дробь:

$$ \frac{(x-y)(x-y+z)}{(y+z)(x-y+z)} $$

Сократим общий множитель $(x-y+z)$, при условии, что он не равен нулю ($x-y+z \ne 0$).

После сокращения получаем итоговое выражение:

$$ \frac{x-y}{y+z} $$

Ответ: $\frac{x-y}{y+z}$.

3. Найдите значение выражения $ \frac{(x - 2y)^2 - 49}{x^2 - 4y^2 + 7x + 14y} $ при $ x = 3.5, $
$ y=0.75. $

Для нахождения значения выражения $\frac{(x-2y)^2 - 49}{x^2 - 4y^2 + 7x + 14y}$ при $x = 3,5$ и $y = 0,75$ сначала упростим его.

1. Разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. В нашем случае $a = x-2y$ и $b=7$.
$(x-2y)^2 - 49 = (x-2y)^2 - 7^2 = (x-2y-7)(x-2y+7)$

2. Разложим на множители знаменатель. Сгруппируем слагаемые:
$x^2 - 4y^2 + 7x + 14y = (x^2 - 4y^2) + (7x + 14y)$
Применим формулу разности квадратов к первой скобке и вынесем общий множитель 7 из второй скобки:
$(x-2y)(x+2y) + 7(x+2y)$
Теперь вынесем общий множитель $(x+2y)$ за скобки:
$(x+2y)(x-2y+7)$

3. Подставим разложенные числитель и знаменатель обратно в дробь:
$\frac{(x-2y-7)(x-2y+7)}{(x+2y)(x-2y+7)}$
Сократим дробь на общий множитель $(x-2y+7)$, так как он не равен нулю при заданных значениях $x$ и $y$. Получим упрощенное выражение:
$\frac{x-2y-7}{x+2y}$

4. Теперь подставим значения $x = 3,5$ и $y = 0,75$ в упрощенное выражение:
$\frac{3,5 - 2 \cdot 0,75 - 7}{3,5 + 2 \cdot 0,75} = \frac{3,5 - 1,5 - 7}{3,5 + 1,5} = \frac{2 - 7}{5} = \frac{-5}{5} = -1$

Ответ: -1

4 Упростите выражение $\frac{1}{6a - 4b} - \frac{1}{6a + 4b} + \frac{3a}{9a^2 - 4b^2}$.

Для того чтобы упростить выражение, необходимо привести все дроби к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатели на множители. Исходное выражение:

Знаменатель первой дроби: $6a - 4b = 2(3a - 2b)$.

Знаменатель второй дроби: $6a + 4b = 2(3a + 2b)$.

Знаменатель третьей дроби является разностью квадратов: $9a^2 - 4b^2 = (3a)^2 - (2b)^2 = (3a - 2b)(3a + 2b)$.

Перепишем выражение с разложенными знаменателями:

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для этих дробей — это $2(3a - 2b)(3a + 2b)$. Приведем каждую дробь к этому знаменателю, домножив числитель и знаменатель на недостающие множители:

Теперь, когда все дроби имеют одинаковый знаменатель, выполним действия с числителями:

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

Вынесем общий множитель 2 за скобки в числителе:

Сократим общие множители $2$ и $(3a + 2b)$ в числителе и знаменателе:

Ответ: $ \frac{1}{3a - 2b} $.

5. Упростите выражение $\frac{3by + 6y - 5b - 10}{7yb - 14y} \cdot \frac{b^2 - 4}{9y^2 - 25}$

Для того чтобы упростить данное выражение, необходимо разложить на множители числители и знаменатели обеих дробей, после чего выполнить умножение и сократить общие множители.

Исходное выражение:

$$ \frac{3by + 6y - 5b - 10}{7yb - 14y} \cdot \frac{b^2 - 4}{9y^2 - 25} $$

1. Разложение числителя первой дроби

Разложим на множители $3by + 6y - 5b - 10$ методом группировки:

$ (3by + 6y) + (-5b - 10) = 3y(b + 2) - 5(b + 2) = (3y - 5)(b + 2) $

2. Разложение знаменателя первой дроби

Разложим на множители $7yb - 14y$, вынеся общий множитель $7y$ за скобки:

$ 7y(b - 2) $

3. Разложение числителя второй дроби

Разложим $b^2 - 4$ по формуле разности квадратов $a^2 - c^2 = (a - c)(a + c)$:

$ b^2 - 4 = b^2 - 2^2 = (b - 2)(b + 2) $

4. Разложение знаменателя второй дроби

Разложим $9y^2 - 25$ также по формуле разности квадратов:

$ 9y^2 - 25 = (3y)^2 - 5^2 = (3y - 5)(3y + 5) $

5. Умножение и сокращение дробей

Теперь подставим разложенные выражения обратно в исходное:

$$ \frac{(3y - 5)(b + 2)}{7y(b - 2)} \cdot \frac{(b - 2)(b + 2)}{(3y - 5)(3y + 5)} $$

Запишем как одну дробь и сократим общие множители $(3y - 5)$ и $(b - 2)$:

$$ \frac{\cancel{(3y - 5)}(b + 2)\cancel{(b - 2)}(b + 2)}{7y\cancel{(b - 2)}\cancel{(3y - 5)}(3y + 5)} = \frac{(b + 2)(b + 2)}{7y(3y + 5)} $$

В итоге получаем:

$$ \frac{(b + 2)^2}{7y(3y + 5)} $$

Ответ: $ \frac{(b + 2)^2}{7y(3y + 5)} $

6 Упростите выражение $\frac{\frac{x+y}{x-y} - \frac{x-y}{x+y}}{\frac{x+y}{x-y} + \frac{x-y}{x+y}} : \frac{x^2y^2}{(x+y)^2 + (x-y)^2}$

Для упрощения данного выражения выполним действия по шагам. Обозначим всё выражение как $E$.

$E = \frac{\frac{x+y}{x-y} - \frac{x-y}{x+y}}{\frac{x+y}{x-y} + \frac{x-y}{x+y}} : \frac{x^2y^2}{(x+y)^2 + (x-y)^2}$

1. Упростим числитель большой дроби.

Приведём дроби к общему знаменателю $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$:
$ \frac{x+y}{x-y} - \frac{x-y}{x+y} = \frac{(x+y)(x+y)}{(x-y)(x+y)} - \frac{(x-y)(x-y)}{(x+y)(x-y)} = \frac{(x+y)^2 - (x-y)^2}{x^2 - y^2} $

Раскроем скобки в числителе, используя формулы сокращённого умножения $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:
$ (x^2+2xy+y^2) - (x^2-2xy+y^2) = x^2+2xy+y^2-x^2+2xy-y^2 = 4xy $

Таким образом, числитель большой дроби равен: $ \frac{4xy}{x^2 - y^2} $.

2. Упростим знаменатель большой дроби.

Аналогично приведём дроби к общему знаменателю $x^2 - y^2$:
$ \frac{x+y}{x-y} + \frac{x-y}{x+y} = \frac{(x+y)^2 + (x-y)^2}{x^2 - y^2} $

Раскроем скобки в числителе:
$ (x^2+2xy+y^2) + (x^2-2xy+y^2) = x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2 = 2x^2+2y^2 = 2(x^2+y^2) $

Таким образом, знаменатель большой дроби равен: $ \frac{2(x^2+y^2)}{x^2 - y^2} $.

3. Упростим всю большую дробь.

Теперь разделим выражение, полученное в шаге 1, на выражение из шага 2:
$ \frac{\frac{4xy}{x^2 - y^2}}{\frac{2(x^2+y^2)}{x^2 - y^2}} = \frac{4xy}{x^2 - y^2} \cdot \frac{x^2 - y^2}{2(x^2+y^2)} $

Сократим общий множитель $x^2 - y^2$:
$ \frac{4xy}{2(x^2+y^2)} = \frac{2xy}{x^2+y^2} $

4. Упростим делитель (вторую дробь в исходном выражении).

Рассмотрим знаменатель этой дроби. Мы его уже упрощали в шаге 2:
$ (x+y)^2 + (x-y)^2 = 2(x^2+y^2) $

Следовательно, вторая дробь равна:
$ \frac{x^2y^2}{2(x^2+y^2)} $

5. Выполним деление.

Теперь разделим результат шага 3 на результат шага 4. Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$ \frac{2xy}{x^2+y^2} : \frac{x^2y^2}{2(x^2+y^2)} = \frac{2xy}{x^2+y^2} \cdot \frac{2(x^2+y^2)}{x^2y^2} $

Сократим общий множитель $(x^2+y^2)$:
$ \frac{2xy \cdot 2}{x^2y^2} = \frac{4xy}{x^2y^2} $

Сократим дробь на $xy$ (при условии, что $x \neq 0$ и $y \neq 0$):
$ \frac{4}{xy} $

Ответ: $ \frac{4}{xy} $

7 Найдите значение выражения $ \frac{a^2 - 2a + 1}{a - 3} \cdot \left(\frac{(a + 2)^2 - a^2}{4a^2 - 4} - \frac{3}{a^2 - a}\right) $ при $a = -0,01.$

Для нахождения значения выражения, сначала упростим его, выполняя действия по порядку.

Исходное выражение: $ \frac{a^2 - 2a + 1}{a - 3} \cdot \left( \frac{(a + 2)^2 - a^2}{4a^2 - 4} - \frac{3}{a^2 - a} \right) $

1. Упростим выражение в скобках.

Для этого сначала преобразуем каждую дробь отдельно.

Первая дробь в скобках: $ \frac{(a + 2)^2 - a^2}{4a^2 - 4} $.

В числителе используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$ (a + 2)^2 - a^2 = (a + 2 - a)(a + 2 + a) = 2(2a + 2) = 4(a + 1) $.

В знаменателе вынесем общий множитель за скобки и также применим формулу разности квадратов:

$ 4a^2 - 4 = 4(a^2 - 1) = 4(a - 1)(a + 1) $.

Таким образом, первая дробь равна: $ \frac{4(a+1)}{4(a-1)(a+1)} = \frac{1}{a-1} $ (при условии, что $a \neq 1$ и $a \neq -1$).

Вторая дробь в скобках: $ \frac{3}{a^2 - a} $.

В знаменателе вынесем общий множитель $a$ за скобки: $ a^2 - a = a(a-1) $.

Дробь принимает вид: $ \frac{3}{a(a-1)} $.

Теперь выполним вычитание дробей в скобках:

$ \frac{1}{a-1} - \frac{3}{a(a-1)} $.

Приведем дроби к общему знаменателю $a(a-1)$:

$ \frac{1 \cdot a}{a(a-1)} - \frac{3}{a(a-1)} = \frac{a-3}{a(a-1)} $.

2. Упростим первый множитель исходного выражения.

$ \frac{a^2 - 2a + 1}{a - 3} $

Числитель $a^2 - 2a + 1$ является формулой квадрата разности: $(a-1)^2$.

Тогда множитель равен $ \frac{(a-1)^2}{a - 3} $.

3. Перемножим упрощенные части.

Подставим упрощенные выражения в исходное:

$ \frac{(a-1)^2}{a - 3} \cdot \frac{a-3}{a(a-1)} $.

Сократим общие множители $(a-3)$ и $(a-1)$:

$ \frac{(a-1)(a-1)}{a-3} \cdot \frac{a-3}{a(a-1)} = \frac{a-1}{a} $.

Итак, все выражение упрощается до $ \frac{a-1}{a} $.

4. Найдем значение выражения при $a = -0,01$.

Подставим значение $a$ в упрощенное выражение:

$ \frac{a-1}{a} = \frac{-0,01 - 1}{-0,01} = \frac{-1,01}{-0,01} $.

Разделив числитель на знаменатель, получаем:

$ \frac{-1,01}{-0,01} = 101 $.

Ответ: 101.

8 Упростите выражение $(x^{-2} - y^{-2}) \cdot \left(\frac{1}{x^{-1}} - \frac{1}{y^{-1}}\right)^{-2}$.

Для упрощения данного выражения выполним преобразования по шагам.

Шаг 1. Преобразование первого множителя $(x^{-2} - y^{-2})$

Используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, перепишем выражение:

$x^{-2} - y^{-2} = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}$

Приводим дроби к общему знаменателю $x^2y^2$:

$\frac{y^2}{x^2y^2} - \frac{x^2}{x^2y^2} = \frac{y^2 - x^2}{x^2y^2}$

Применяем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к числителю:

$\frac{(y-x)(y+x)}{x^2y^2}$

Шаг 2. Преобразование второго множителя $\left(\frac{1}{x^{-1}} - \frac{1}{y^{-1}}\right)^{-2}$

Сначала упростим выражение внутри скобок, используя свойство $\frac{1}{a^{-n}} = a^n$:

$\frac{1}{x^{-1}} - \frac{1}{y^{-1}} = x - y$

Теперь возведем полученное выражение в степень $-2$:

$(x-y)^{-2} = \frac{1}{(x-y)^2}$

Шаг 3. Умножение и сокращение

Теперь перемножим результаты, полученные на шагах 1 и 2:

$\frac{(y-x)(y+x)}{x^2y^2} \cdot \frac{1}{(x-y)^2}$

Заметим, что $(x-y)^2 = (-(y-x))^2 = (y-x)^2$. Это позволяет нам переписать выражение следующим образом:

$\frac{(y-x)(y+x)}{x^2y^2 (y-x)^2}$

Сокращаем дробь на общий множитель $(y-x)$ (при условии, что $x \neq y$):

$\frac{y+x}{x^2y^2(y-x)}$

Ответ: $\frac{x+y}{x^2y^2(y-x)}$

9 Докажите, что значение выражения

$\left( \frac{b}{b^2 - 36} - \frac{b - 6}{b^2 + 6b} \right) : \frac{2b - 6}{b^2 + 6b} - \frac{b}{b - 6}$

не зависит от значения переменной b.

Для того чтобы доказать, что значение данного выражения не зависит от переменной $b$, необходимо его упростить. Мы будем выполнять действия по порядку: сначала действия в скобках, затем деление и в конце вычитание.

Начнем с выражения в скобках: $ \frac{b}{b^2 - 36} - \frac{b - 6}{b^2 + 6b} $. Разложим знаменатели на множители для нахождения общего знаменателя. Используем формулу разности квадратов для первого знаменателя и вынесение общего множителя для второго:

$ b^2 - 36 = (b - 6)(b + 6) $

$ b^2 + 6b = b(b + 6) $

Общим знаменателем является выражение $ b(b - 6)(b + 6) $. Приведем дроби к этому знаменателю:

$ \frac{b \cdot b}{b(b - 6)(b + 6)} - \frac{(b - 6)(b - 6)}{b(b - 6)(b + 6)} = \frac{b^2 - (b - 6)^2}{b(b - 6)(b + 6)} $

Упростим числитель, применив формулу разности квадратов $a^2-c^2=(a-c)(a+c)$:

$ b^2 - (b - 6)^2 = (b - (b - 6))(b + (b - 6)) = (b - b + 6)(b + b - 6) = 6(2b - 6) $

Таким образом, выражение в скобках равно $ \frac{6(2b - 6)}{b(b - 6)(b + 6)} $.

Теперь выполним деление. Результат, полученный в скобках, делим на дробь $ \frac{2b - 6}{b^2 + 6b} $:

$ \frac{6(2b - 6)}{b(b - 6)(b + 6)} : \frac{2b - 6}{b^2 + 6b} $

Заменяем деление на умножение на обратную дробь и раскладываем знаменатель второй дроби на множители:

$ \frac{6(2b - 6)}{b(b - 6)(b + 6)} \cdot \frac{b(b + 6)}{2b - 6} $

Теперь сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе: $ (2b-6) $, $ b $ и $ (b+6) $:

$ \frac{6 \cdot \cancel{(2b-6)}}{\cancel{b}(b-6)\cancel{(b+6)}} \cdot \frac{\cancel{b}\cancel{(b+6)}}{\cancel{2b-6}} = \frac{6}{b-6} $

Осталось выполнить последнее действие — вычитание:

$ \frac{6}{b - 6} - \frac{b}{b - 6} $

Так как дроби имеют общий знаменатель, вычитаем их числители:

$ \frac{6 - b}{b - 6} = \frac{-(b - 6)}{b - 6} = -1 $

В результате всех упрощений мы получили число $-1$. Это значение является постоянным и не зависит от переменной $b$. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: -1.

10 Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования.

Моторная лодка проходит $16 \text{ км}$ по течению реки на $12 \text{ мин}$ быстрее, чем то же расстояние против течения. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна $2 \text{ км/ч}$.

1. Составление математической модели

Первый этап решения задачи — это перевод ее условий с обыденного языка на язык математики.

Пусть собственная скорость моторной лодки равна $x$ км/ч. Поскольку скорость течения реки равна 2 км/ч, то скорость лодки по течению составляет $(x + 2)$ км/ч, а скорость лодки против течения — $(x - 2)$ км/ч. Для того чтобы лодка могла двигаться против течения, ее собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x > 2$.

Расстояние в 16 км по течению лодка пройдет за время $t_1 = \frac{16}{x + 2}$ часов.

Расстояние в 16 км против течения лодка пройдет за время $t_2 = \frac{16}{x - 2}$ часов.

Из условия известно, что на путь по течению лодка затратила на 12 минут меньше, чем на путь против течения. Выразим 12 минут в часах, чтобы все единицы измерения были согласованы: $12 \text{ мин} = \frac{12}{60} \text{ ч} = \frac{1}{5} \text{ ч}$.

Теперь можно составить уравнение, которое связывает время движения по течению и против течения: $t_2 - t_1 = \frac{1}{5}$ $\frac{16}{x - 2} - \frac{16}{x + 2} = \frac{1}{5}$

Ответ: Математическая модель задачи — это уравнение $\frac{16}{x - 2} - \frac{16}{x + 2} = \frac{1}{5}$ при условии, что $x > 2$.

2. Работа с математической моделью

Второй этап — решение составленного уравнения. $\frac{16}{x - 2} - \frac{16}{x + 2} = \frac{1}{5}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x - 2)(x + 2) = x^2 - 4$: $\frac{16(x + 2) - 16(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{1}{5}$

Упростим числитель левой части: $\frac{16x + 32 - 16x + 32}{x^2 - 4} = \frac{1}{5}$ $\frac{64}{x^2 - 4} = \frac{1}{5}$

Используя основное свойство пропорции, получим: $1 \cdot (x^2 - 4) = 64 \cdot 5$ $x^2 - 4 = 320$

Решим полученное неполное квадратное уравнение: $x^2 = 324$ $x_1 = \sqrt{324} = 18$ $x_2 = -\sqrt{324} = -18$

Ответ: В результате решения уравнения получены два корня: $x_1 = 18$ и $x_2 = -18$.

3. Интерпретация результата

Третий этап — это анализ полученных математических результатов и формулировка ответа на вопрос задачи.

Мы получили два корня: 18 и -18. Теперь нужно соотнести их с условиями задачи. Собственная скорость лодки ($x$) — это физическая величина, которая не может быть отрицательной. Поэтому корень $x_2 = -18$ не является решением задачи.

Корень $x_1 = 18$ является положительным числом и удовлетворяет условию $x > 2$, установленному на первом этапе. Следовательно, собственная скорость лодки составляет 18 км/ч.

Проверим найденное решение:
Скорость по течению: $18 + 2 = 20$ км/ч. Время: $\frac{16}{20} = \frac{4}{5}$ ч = 48 мин.
Скорость против течения: $18 - 2 = 16$ км/ч. Время: $\frac{16}{16} = 1$ ч = 60 мин.
Разница во времени: $60 - 48 = 12$ мин.
Результат соответствует условию задачи.

Ответ: 18 км/ч.