Страница 63, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

11.3 Объясните, почему неверно равенство:

а) $\sqrt{25} = -5;$

б) $\sqrt{36} = 6,5;$

в) $\sqrt{100} = 10,1;$

г) $\sqrt{-81} = -9.$

а) $ \sqrt{25} = -5 $

Равенство неверно, так как по определению арифметический квадратный корень из неотрицательного числа есть неотрицательное число. В данном случае, результат $ -5 $ является отрицательным числом, что противоречит определению. Хотя $ (-5)^2 = 25 $, арифметический квадратный корень (обозначаемый знаком $ \sqrt{} $) всегда должен быть неотрицательным. Правильное равенство: $ \sqrt{25} = 5 $, потому что $ 5 \ge 0 $ и $ 5^2 = 25 $.

Ответ: Равенство неверно, потому что результат извлечения арифметического квадратного корня не может быть отрицательным числом.

б) $ \sqrt{36} = 6,5 $

Равенство неверно. Чтобы проверить его, нужно возвести в квадрат правую часть равенства и сравнить с подкоренным выражением. Вычислим $ 6,5^2 $: $ 6,5^2 = 6,5 \cdot 6,5 = 42,25 $. Поскольку $ 42,25 \neq 36 $, данное равенство не является верным. Правильное равенство: $ \sqrt{36} = 6 $, так как $ 6^2 = 36 $.

Ответ: Равенство неверно, потому что $ 6,5^2 = 42,25 $, а не 36.

в) $ \sqrt{100} = 10,1 $

Равенство неверно. Проверим его, возведя в квадрат число $ 10,1 $: $ 10,1^2 = 10,1 \cdot 10,1 = 102,01 $. Результат $ 102,01 $ не равен подкоренному выражению $ 100 $. Следовательно, равенство неверно. Правильное равенство: $ \sqrt{100} = 10 $, так как $ 10^2 = 100 $.

Ответ: Равенство неверно, потому что $ 10,1^2 = 102,01 $, а не 100.

г) $ \sqrt{-81} = -9 $

Равенство неверно, потому что выражение в левой части, $ \sqrt{-81} $, не определено в множестве действительных чисел. Арифметический квадратный корень можно извлекать только из неотрицательных чисел, так как квадрат любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля) является неотрицательным числом. Не существует такого действительного числа $ x $, для которого выполнялось бы равенство $ x^2 = -81 $.

Ответ: Равенство неверно, так как выражение $ \sqrt{-81} $ не имеет смысла в множестве действительных чисел (нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа).

Вычислите:

11.4 a) $\sqrt{4}$;

б) $\sqrt{25}$;

в) $\sqrt{49}$;

г) $\sqrt{1}$.

а)

Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа $a$ (обозначается как $\sqrt{a}$) — это неотрицательное число, квадрат которого равен $a$.

Чтобы вычислить $\sqrt{4}$, необходимо найти такое неотрицательное число, квадрат которого равен 4. Таким числом является 2, так как $2^2 = 2 \times 2 = 4$.

Следовательно, $\sqrt{4} = 2$.

Ответ: 2

б)

Чтобы вычислить $\sqrt{25}$, необходимо найти такое неотрицательное число, квадрат которого равен 25. Таким числом является 5, так как $5^2 = 5 \times 5 = 25$.

Следовательно, $\sqrt{25} = 5$.

Ответ: 5

в)

Чтобы вычислить $\sqrt{49}$, необходимо найти такое неотрицательное число, квадрат которого равен 49. Таким числом является 7, так как $7^2 = 7 \times 7 = 49$.

Следовательно, $\sqrt{49} = 7$.

Ответ: 7

г)

Чтобы вычислить $\sqrt{1}$, необходимо найти такое неотрицательное число, квадрат которого равен 1. Таким числом является 1, так как $1^2 = 1 \times 1 = 1$.

Следовательно, $\sqrt{1} = 1$.

Ответ: 1

11.5 а) $\sqrt{144}$;

б) $\sqrt{169}$;

в) $\sqrt{225}$;

г) $\sqrt{361}$.

а)

Арифметическим квадратным корнем из числа $a$ называется неотрицательное число, квадрат которого равен $a$. Чтобы найти $\sqrt{144}$, нужно найти такое неотрицательное число, которое при возведении в квадрат даст 144. Мы знаем, что $10^2 = 100$ и $20^2 = 400$, значит, искомое число находится между 10 и 20. Последняя цифра числа 144 - это 4. Квадраты чисел, оканчивающихся на 2 или 8, также оканчиваются на 4 ($2^2=4$, $8^2=64$). Проверим число 12. $12^2 = 12 \times 12 = 144$. Это верное равенство, следовательно, $\sqrt{144} = 12$.

Ответ: 12

б)

Чтобы найти $\sqrt{169}$, необходимо найти неотрицательное число, квадрат которого равен 169. Искомое число находится между 10 и 20 ($10^2=100$, $20^2=400$). Последняя цифра числа 169 - это 9. Квадраты чисел, оканчивающихся на 3 или 7, оканчиваются на 9 ($3^2=9$, $7^2=49$). Проверим число 13. $13^2 = 13 \times 13 = 169$. Равенство верное, значит, $\sqrt{169} = 13$.

Ответ: 13

в)

Для вычисления $\sqrt{225}$ ищем неотрицательное число, квадрат которого равен 225. Последняя цифра числа 225 - это 5. Только квадрат числа, оканчивающегося на 5, будет также оканчиваться на 5 ($5^2=25$). Проверим число 15. $15^2 = 15 \times 15 = 225$. Следовательно, $\sqrt{225} = 15$.

Ответ: 15

г)

Чтобы найти $\sqrt{361}$, нужно найти неотрицательное число, которое в квадрате даёт 361. Мы знаем, что $10^2 = 100$ и $20^2 = 400$, значит, искомое число находится между 10 и 20. Последняя цифра числа 361 равна 1. Квадраты чисел, оканчивающихся на 1 или 9, также оканчиваются на 1 ($1^2=1$, $9^2=81$). Проверим число 19. $19^2 = 19 \times 19 = (20 - 1)^2 = 20^2 - 2 \times 20 \times 1 + 1^2 = 400 - 40 + 1 = 361$. Таким образом, $\sqrt{361} = 19$.

Ответ: 19

11.6 а) $\sqrt{0,36}$;

б) $\sqrt{0,04}$;

в) $\sqrt{0,64}$;

г) $\sqrt{0,81}$.

а) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{0,36}$, нужно найти число, квадрат которого равен 0,36. Представим десятичную дробь 0,36 в виде обыкновенной дроби: $0,36 = \frac{36}{100}$. Тогда, используя свойство корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$, получаем: $\sqrt{0,36} = \sqrt{\frac{36}{100}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{100}}$. Поскольку $\sqrt{36} = 6$ и $\sqrt{100} = 10$, то: $\frac{6}{10} = 0,6$. Проверка: $0,6^2 = 0,6 \cdot 0,6 = 0,36$.
Ответ: 0,6

б) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{0,04}$, нужно найти число, квадрат которого равен 0,04. Представим десятичную дробь 0,04 в виде обыкновенной дроби: $0,04 = \frac{4}{100}$. Применим свойство корня из дроби: $\sqrt{0,04} = \sqrt{\frac{4}{100}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{100}}$. Так как $\sqrt{4} = 2$ и $\sqrt{100} = 10$, имеем: $\frac{2}{10} = 0,2$. Проверка: $0,2^2 = 0,2 \cdot 0,2 = 0,04$.
Ответ: 0,2

в) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{0,64}$, нужно найти число, квадрат которого равен 0,64. Представим десятичную дробь 0,64 в виде обыкновенной дроби: $0,64 = \frac{64}{100}$. Используем свойство корня из дроби: $\sqrt{0,64} = \sqrt{\frac{64}{100}} = \frac{\sqrt{64}}{\sqrt{100}}$. Поскольку $\sqrt{64} = 8$ и $\sqrt{100} = 10$, получаем: $\frac{8}{10} = 0,8$. Проверка: $0,8^2 = 0,8 \cdot 0,8 = 0,64$.
Ответ: 0,8

г) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{0,81}$, нужно найти число, квадрат которого равен 0,81. Представим десятичную дробь 0,81 в виде обыкновенной дроби: $0,81 = \frac{81}{100}$. Применим свойство корня из дроби: $\sqrt{0,81} = \sqrt{\frac{81}{100}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{100}}$. Так как $\sqrt{81} = 9$ и $\sqrt{100} = 10$, то: $\frac{9}{10} = 0,9$. Проверка: $0,9^2 = 0,9 \cdot 0,9 = 0,81$.
Ответ: 0,9

11.7 а) $\sqrt{\frac{4}{9}}$;

б) $\sqrt{\frac{1}{25}}$;

в) $\sqrt{\frac{36}{49}}$;

г) $\sqrt{\frac{16}{121}}$.

а) Для вычисления квадратного корня из дроби используется свойство корня из частного, которое гласит, что корень из дроби равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

Применим это свойство к данному выражению:

$\sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}$

Теперь вычислим корень из числителя и корень из знаменателя по отдельности. Корень из 4 равен 2, так как $2^2 = 4$. Корень из 9 равен 3, так как $3^2 = 9$.

$\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

б) Аналогично предыдущему пункту, применим свойство корня из частного: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

$\sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}$

Вычисляем корень из числителя: $\sqrt{1} = 1$, так как $1^2 = 1$.

Вычисляем корень из знаменателя: $\sqrt{25} = 5$, так как $5^2 = 25$.

Подставляем полученные значения:

$\frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$

в) Снова используем правило извлечения корня из дроби:

$\sqrt{\frac{36}{49}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{49}}$

Находим корень из числителя: $\sqrt{36} = 6$, потому что $6^2 = 36$.

Находим корень из знаменателя: $\sqrt{49} = 7$, потому что $7^2 = 49$.

В результате получаем:

$\frac{6}{7}$

Ответ: $\frac{6}{7}$

г) Применяем то же свойство для последнего выражения:

$\sqrt{\frac{16}{121}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{121}}$

Вычисляем корень из числителя: $\sqrt{16} = 4$, так как $4^2 = 16$.

Вычисляем корень из знаменателя: $\sqrt{121} = 11$, так как $11^2 = 121$.

Получаем окончательный результат:

$\frac{4}{11}$

Ответ: $\frac{4}{11}$

11.8 a) $\sqrt{1\frac{7}{9}}$;

б) $\sqrt{6\frac{1}{4}}$;

в) $\sqrt{2\frac{1}{4}}$;

г) $\sqrt{1\frac{24}{25}}$.

а)

Для того чтобы вычислить значение выражения $\sqrt{1\frac{7}{9}}$, необходимо сначала преобразовать смешанное число, находящееся под знаком корня, в неправильную дробь. Для этого умножим целую часть на знаменатель и прибавим числитель, а знаменатель оставим прежним:

$1\frac{7}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{9 + 7}{9} = \frac{16}{9}$

Теперь выражение принимает вид $\sqrt{\frac{16}{9}}$.

Далее воспользуемся свойством квадратного корня из дроби, которое гласит, что корень из дроби равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

$\sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}} = \frac{4}{3}$

Полученную неправильную дробь можно преобразовать обратно в смешанное число:

$\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$

Ответ: $1\frac{1}{3}$

б)

Чтобы найти значение выражения $\sqrt{6\frac{1}{4}}$, сначала переведем смешанное число в неправильную дробь:

$6\frac{1}{4} = \frac{6 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{24 + 1}{4} = \frac{25}{4}$

Теперь извлечем квадратный корень из полученной дроби, используя свойство корня из частного:

$\sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}} = \frac{5}{2}$

Представим результат в виде десятичной дроби:

$\frac{5}{2} = 2,5$

Ответ: $2,5$

в)

Вычислим значение выражения $\sqrt{2\frac{1}{4}}$. Для этого преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{8 + 1}{4} = \frac{9}{4}$

Далее извлечем квадратный корень из этой дроби:

$\sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2}$

Переведем полученную дробь в десятичную:

$\frac{3}{2} = 1,5$

Ответ: $1,5$

г)

Найдем значение выражения $\sqrt{1\frac{24}{25}}$. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$1\frac{24}{25} = \frac{1 \cdot 25 + 24}{25} = \frac{25 + 24}{25} = \frac{49}{25}$

Теперь извлечем квадратный корень из дроби:

$\sqrt{\frac{49}{25}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{25}} = \frac{7}{5}$

Представим результат в виде десятичной дроби:

$\frac{7}{5} = 1,4$

Ответ: $1,4$

11.9 Имеет ли смысл выражение:

а) $\sqrt{-1};$

б) $-\sqrt{-9};$

в) $\sqrt{(-3)^2};$

г) $\sqrt{-\left(-\frac{49}{100}\right)}?$

а) Арифметический квадратный корень, обозначаемый знаком $\sqrt{\phantom{a}}$, определен только для неотрицательных чисел. В выражении $\sqrt{-1}$ подкоренное выражение равно $-1$, что является отрицательным числом. Следовательно, это выражение не имеет смысла в множестве действительных чисел.

Ответ: не имеет смысла.

б) В выражении $-\sqrt{-9}$ подкоренное выражение равно $-9$. Поскольку $-9 < 0$, корень $\sqrt{-9}$ не определен в множестве действительных чисел. Значит, и все выражение не имеет смысла.

Ответ: не имеет смысла.

в) В выражении $\sqrt{(-3)^2}$ сначала вычислим значение подкоренного выражения. $(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9$. Таким образом, выражение эквивалентно $\sqrt{9}$. Так как подкоренное выражение $9$ положительно, то выражение имеет смысл. Его значение равно $3$.

Ответ: имеет смысл.

г) В выражении $\sqrt{-(-\frac{49}{100})}$ сначала упростим подкоренное выражение. $-(-\frac{49}{100}) = \frac{49}{100}$. Выражение эквивалентно $\sqrt{\frac{49}{100}}$. Так как подкоренное выражение $\frac{49}{100}$ положительно, то выражение имеет смысл. Его значение равно $\frac{7}{10}$.

Ответ: имеет смысл.

11.10 При каких значениях $a$ имеет смысл выражение:

а) $\sqrt{a}$;

б) $\sqrt{a^2}$;

в) $\sqrt{-a}$;

г) $\sqrt{\frac{1}{a}}$?

Выражение с квадратным корнем имеет смысл (определено в области действительных чисел) тогда, когда подкоренное выражение, или радиканд, неотрицательно, то есть больше или равно нулю.

а) В выражении $\sqrt{a}$ подкоренное выражение равно $a$. Для того чтобы это выражение имело смысл, должно выполняться неравенство:
$a \ge 0$
Это означает, что переменная $a$ может принимать значения ноль или любое положительное число.
Ответ: $a \ge 0$.

б) В выражении $\sqrt{a^2}$ подкоренное выражение равно $a^2$. Квадрат любого действительного числа (будь то положительное, отрицательное или ноль) всегда является неотрицательным числом.
Например, если $a = 2$, то $a^2 = 4 \ge 0$. Если $a = -2$, то $a^2 = 4 \ge 0$. Если $a = 0$, то $a^2 = 0 \ge 0$.
Таким образом, неравенство $a^2 \ge 0$ выполняется для любого действительного значения $a$.
Ответ: $a$ — любое число.

в) В выражении $\sqrt{-a}$ подкоренное выражение равно $-a$. Для того чтобы выражение имело смысл, должно выполняться неравенство:
$-a \ge 0$
Чтобы найти значения $a$, умножим обе части неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$a \le 0$
Это означает, что переменная $a$ может принимать значения ноль или любое отрицательное число.
Ответ: $a \le 0$.

г) В выражении $\sqrt{\frac{1}{a}}$ необходимо учесть два условия, чтобы оно имело смысл:
1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $\frac{1}{a} \ge 0$.
2. Знаменатель дроби, находящейся под корнем, не может быть равен нулю: $a \ne 0$.
Рассмотрим первое условие: $\frac{1}{a} \ge 0$. Так как числитель дроби равен $1$ и не может быть равен нулю, то и сама дробь не может равняться нулю. Следовательно, условие сводится к строгому неравенству:
$\frac{1}{a} > 0$
Дробь положительна в том случае, когда ее числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Поскольку числитель $1$ является положительным числом, то и знаменатель $a$ также должен быть положительным.
$a > 0$
Это условие ($a$ — строго положительное число) автоматически удовлетворяет и второму требованию ($a \ne 0$).
Ответ: $a > 0$.

Вычислите:

11.11 a) $(\sqrt{5})^2$;

б) $(\sqrt{\frac{5}{7}})^2$;

в) $(\sqrt{4,5})^2$;

г) $(\sqrt{\frac{1}{12}})^2$.

а) По определению арифметического квадратного корня, для любого неотрицательного числа $a$ справедливо равенство $(\sqrt{a})^2 = a$. В данном случае подкоренное выражение равно 5. Следовательно, $(\sqrt{5})^2 = 5$.
Ответ: $5$

б) Используем то же свойство квадратного корня: возведение в квадрат убирает знак корня, оставляя подкоренное выражение. В данном случае подкоренное выражение — это дробь $\frac{5}{7}$.
$(\sqrt{\frac{5}{7}})^2 = \frac{5}{7}$.
Ответ: $\frac{5}{7}$

в) Аналогично предыдущим примерам, применяем основное свойство арифметического квадратного корня $(\sqrt{a})^2 = a$. Здесь $a = 4,5$.
$(\sqrt{4,5})^2 = 4,5$.
Ответ: $4,5$

г) Возводим в квадрат корень из дроби $\frac{1}{12}$. Операции взаимно уничтожаются, и мы получаем само подкоренное выражение.
$(\sqrt{\frac{1}{12}})^2 = \frac{1}{12}$.
Ответ: $\frac{1}{12}$