Страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

12.8 а) Приведите пример двух иррациональных чисел, сумма которых — рациональное число.

б) Приведите пример двух иррациональных чисел, сумма которых — иррациональное число.

а)

Требуется найти два иррациональных числа, сумма которых является рациональным числом. Иррациональное число — это действительное число, которое не может быть выражено в виде дроби $m/n$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Классическим примером иррационального числа является $\sqrt{2}$.

Рассмотрим число $a = \sqrt{2}$. Оно иррациональное.

Теперь возьмем число $b = -\sqrt{2}$. Это число также является иррациональным, так как оно противоположно иррациональному числу.

Найдем сумму этих двух чисел:

$a + b = \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$.

Сумма равна 0. Число 0 является рациональным, так как его можно представить в виде дроби, например $0/1$. Таким образом, мы нашли два иррациональных числа ($\sqrt{2}$ и $-\sqrt{2}$), сумма которых является рациональным числом (0).

В качестве другого примера можно взять числа $5 + \pi$ и $-\pi$. Оба числа иррациональны, а их сумма равна $(5 + \pi) + (-\pi) = 5$, что является рациональным числом.

Ответ: $\sqrt{2}$ и $-\sqrt{2}$.

б)

Требуется найти два иррациональных числа, сумма которых также является иррациональным числом.

Возьмем в качестве первого иррационального числа $a = \sqrt{2}$.

В качестве второго иррационального числа возьмем $b = \sqrt{3}$.

Найдем сумму этих двух чисел:

$a + b = \sqrt{2} + \sqrt{3}$.

Докажем, что полученная сумма является иррациональным числом. Предположим обратное: пусть $\sqrt{2} + \sqrt{3} = r$, где $r$ — рациональное число.

Возведем обе части равенства в квадрат:

$(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = r^2$

$2 + 2\sqrt{2}\sqrt{3} + 3 = r^2$

$5 + 2\sqrt{6} = r^2$

Выразим $\sqrt{6}$:

$2\sqrt{6} = r^2 - 5$

$\sqrt{6} = \frac{r^2 - 5}{2}$

Поскольку $r$ — рациональное число, то $r^2$ также рационально. Разность рациональных чисел ($r^2 - 5$) и частное от деления рационального числа на рациональное ($\frac{r^2 - 5}{2}$) также являются рациональными числами. Следовательно, из нашего предположения вытекает, что $\sqrt{6}$ — рациональное число. Однако $\sqrt{6}$ является иррациональным числом, так как 6 не является полным квадратом. Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным, и число $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ на самом деле иррациональное.

Более простой пример: $\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$. Оба числа иррациональны. Их сумма равна $\sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$. Это число также иррационально.

Ответ: $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$.

12.9 a) Приведите пример двух иррациональных чисел, произведение которых — рациональное число.

б) Приведите пример двух иррациональных чисел, произведение которых — иррациональное число.

а)

Чтобы найти два иррациональных числа, произведение которых является рациональным, можно рассмотреть несколько подходов. Иррациональное число — это число, которое не может быть представлено в виде обыкновенной дроби $m/n$, где $m$ и $n$ — целые числа. Примерами служат корни из чисел, не являющихся точными квадратами, например, $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ и т.д.

Способ 1: Умножение иррационального числа на само себя.

Возьмем иррациональное число $\sqrt{2}$. Умножим его на само себя:

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = (\sqrt{2})^2 = 2$.

Число 2 является рациональным. Таким образом, числа $\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$ — искомый пример.

Способ 2: Использование сопряженных выражений.

Возьмем два иррациональных числа: $3 + \sqrt{5}$ и $3 - \sqrt{5}$. Их произведение найдем по формуле разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5}) = 3^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4$.

Число 4 также является рациональным.

Ответ: $\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$.

б)

Чтобы найти два иррациональных числа, произведение которых также иррационально, можно взять два "разных" корня.

Возьмем два иррациональных числа: $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$.

Найдем их произведение, используя свойство корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$:

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{2 \cdot 3} = \sqrt{6}$.

Так как число 6 не является точным квадратом целого числа, $\sqrt{6}$ является иррациональным числом. Таким образом, мы нашли два иррациональных числа, произведение которых также иррационально.

Ответ: $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$.

12.10 Верно ли утверждение, что квадратный корень из рационального числа — иррациональное число?

Данное утверждение неверно. Чтобы опровергнуть общее утверждение, достаточно привести хотя бы один контрпример.

Рациональным числом называется число, которое можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число. Иррациональное число — это действительное число, которое не является рациональным.

Рассмотрим в качестве примера рациональное число $9$. Это рациональное число, так как его можно представить в виде дроби $\frac{9}{1}$. Найдем квадратный корень из этого числа:

$\sqrt{9} = 3$

Число $3$ также является рациональным, поскольку его можно представить в виде дроби $\frac{3}{1}$.

Рассмотрим другой пример — дробное рациональное число $\frac{4}{25}$. Найдем квадратный корень из него:

$\sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}} = \frac{2}{5}$

Число $\frac{2}{5}$ по определению является рациональным.

Таким образом, существуют рациональные числа, квадратные корни из которых также являются рациональными числами. Это опровергает исходное утверждение.

Следует отметить, что квадратный корень из рационального числа может быть и иррациональным. Например, число $2$ — рациональное, однако его квадратный корень $\sqrt{2}$ является иррациональным числом.

В общем случае, квадратный корень из положительного рационального числа $q$ является рациональным числом тогда и только тогда, когда $q$ можно представить в виде квадрата другого рационального числа.

Ответ: нет, утверждение неверно.

12.11 Приведите примеры, показывающие, что квадратный корень из рационального числа может быть выражен:

а) целым числом;

б) конечной десятичной дробью;

в) бесконечной десятичной непериодической дробью;

г) бесконечной десятичной периодической дробью.

Квадратный корень из рационального числа будет целым числом, если само рациональное число является полным квадратом некоторого целого числа. Поскольку любое целое число является рациональным, мы можем выбрать в качестве примера любой полный квадрат. Например, возьмем рациональное число 16.
$ \sqrt{16} = 4 $
Число 4 является целым.
Ответ: например, $ \sqrt{16} = 4 $.

Квадратный корень из рационального числа будет конечной десятичной дробью, если подкоренное число является квадратом другой конечной десятичной дроби. Например, возьмем рациональное число 2,25, которое можно записать как $ \frac{225}{100} $ или $ \frac{9}{4} $. Это число является квадратом дроби 1,5.
$ \sqrt{2,25} = 1,5 $
Число 1,5 является конечной десятичной дробью.
Ответ: например, $ \sqrt{2,25} = 1,5 $.

Квадратный корень из рационального числа является бесконечной десятичной непериодической дробью (то есть иррациональным числом), если подкоренное рациональное число не является квадратом какого-либо рационального числа. Например, возьмем рациональное число 2.
$ \sqrt{2} \approx 1,41421356... $
Это число является бесконечной непериодической десятичной дробью.
Ответ: например, $ \sqrt{2} $.

Квадратный корень из рационального числа будет бесконечной десятичной периодической дробью, если он сам является рациональным числом, которое представляется в виде такой дроби. Для этого подкоренное число должно быть квадратом такого рационального числа. Возьмем рациональное число $ \frac{1}{3} $, которое представляется в виде бесконечной периодической дроби $ 0,(3) $. Возведем его в квадрат: $ (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9} $. Теперь извлечем корень из полученного рационального числа $ \frac{1}{9} $.
$ \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3} = 0,333... = 0,(3) $
Результат — бесконечная десятичная периодическая дробь.
Ответ: например, $ \sqrt{\frac{1}{9}} = 0,(3) $.

12.12 Поясните, почему является иррациональным заданное число:

а) $5 + \sqrt{3}$;

б) $7 - \sqrt{2}$;

в) $1 + \sqrt{8}$;

г) $3 - \sqrt{5}$.

Общий принцип, который используется для решения всех пунктов, заключается в следующем: сумма или разность рационального и иррационального чисел всегда является иррациональным числом. Доказательство для каждого случая строится методом от противного.

а)

Предположим, что число $5 + \sqrt{3}$ является рациональным. Тогда его можно представить в виде некоторого рационального числа $r$.

$5 + \sqrt{3} = r$

Выразим из этого равенства $\sqrt{3}$:

$\sqrt{3} = r - 5$

В правой части этого равенства находится разность двух рациональных чисел ($r$ и 5). Результат вычитания рациональных чисел всегда является рациональным числом. Следовательно, $r - 5$ — рациональное число.

В левой части стоит число $\sqrt{3}$, которое является иррациональным (поскольку 3 не является полным квадратом целого числа).

Мы получили противоречие: иррациональное число равно рациональному. Это означает, что наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: число $5 + \sqrt{3}$ является иррациональным, так как представляет собой сумму рационального числа (5) и иррационального числа ($\sqrt{3}$).

б)

Предположим, что число $7 - \sqrt{2}$ является рациональным. Тогда оно равно некоторому рациональному числу $r$.

$7 - \sqrt{2} = r$

Выразим из этого равенства $\sqrt{2}$:

$\sqrt{2} = 7 - r$

В правой части равенства стоит разность двух рациональных чисел (7 и $r$), которая также является рациональным числом.

В левой части стоит число $\sqrt{2}$, которое является иррациональным (так как 2 не является полным квадратом целого числа).

Мы пришли к противоречию: иррациональное число $\sqrt{2}$ равно рациональному числу $7 - r$. Значит, наше исходное предположение неверно.

Ответ: число $7 - \sqrt{2}$ является иррациональным, так как представляет собой разность рационального числа (7) и иррационального числа ($\sqrt{2}$).

в)

Сначала упростим выражение: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$. Таким образом, исходное число равно $1 + 2\sqrt{2}$.

Предположим, что число $1 + 2\sqrt{2}$ является рациональным. Обозначим его через $r$.

$1 + 2\sqrt{2} = r$

Выразим из этого равенства слагаемое с корнем, а затем и сам корень:

$2\sqrt{2} = r - 1$

$\sqrt{2} = \frac{r - 1}{2}$

В правой части этого равенства находится выражение, которое является рациональным числом, так как разность рациональных чисел ($r-1$) рациональна, и частное от деления рационального числа на рациональное число 2 также рационально.

В левой части стоит иррациональное число $\sqrt{2}$.

Полученное противоречие (иррациональное число равно рациональному) доказывает, что наше предположение было ошибочным.

Ответ: число $1 + \sqrt{8}$ является иррациональным. Оно состоит из рациональной части (1) и иррациональной части ($\sqrt{8}$), а их сумма иррациональна.

г)

Предположим, что число $3 - \sqrt{5}$ рационально. Это значит, что его можно представить в виде рационального числа $r$.

$3 - \sqrt{5} = r$

Выразим из равенства $\sqrt{5}$:

$\sqrt{5} = 3 - r$

В правой части равенства стоит разность двух рациональных чисел (3 и $r$). Результат этой операции также является рациональным числом.

В левой части стоит число $\sqrt{5}$, которое иррационально (поскольку 5 не является полным квадратом целого числа).

Таким образом, мы получили противоречие: иррациональное число равно рациональному. Это значит, что наше допущение было неверным.

Ответ: число $3 - \sqrt{5}$ является иррациональным, так как представляет собой разность рационального числа (3) и иррационального числа ($\sqrt{5}$).

12.13 Докажите, что сумма рационального и иррационального чисел есть число иррациональное.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного.

Пусть у нас есть рациональное число $r$ и иррациональное число $i$.

По определению, любое рациональное число $r$ можно представить в виде несократимой дроби $r = \frac{m}{n}$, где $m$ — целое число ($m \in \mathbb{Z}$), а $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$). Иррациональное число $i$ представить в таком виде невозможно.

Рассмотрим их сумму, которую обозначим как $S$: $S = r + i$

Теперь сделаем предположение, противоречащее доказываемому утверждению: предположим, что сумма $S$ является рациональным числом. Если $S$ — рациональное число, то его также можно представить в виде дроби $S = \frac{p}{q}$, где $p \in \mathbb{Z}$ и $q \in \mathbb{N}$.

Из равенства $S = r + i$ выразим иррациональное число $i$: $i = S - r$

Подставим в это равенство представления чисел $S$ и $r$ в виде дробей: $i = \frac{p}{q} - \frac{m}{n}$

Выполним вычитание дробей, приведя их к общему знаменателю: $i = \frac{pn - mq}{qn}$

Проанализируем полученное выражение. Так как $p, n, m, q$ являются целыми числами, то их произведения ($pn$ и $mq$) и их разность ($pn - mq$) также являются целыми числами. Знаменатель $qn$ является произведением двух натуральных чисел, поэтому он также является натуральным (и, следовательно, целым и не равным нулю) числом.

Таким образом, мы представили число $i$ в виде дроби $\frac{pn - mq}{qn}$, где числитель — целое число, а знаменатель — целое, не равное нулю, число. По определению, это означает, что число $i$ является рациональным.

Это приводит к противоречию, поскольку по нашему первоначальному условию число $i$ является иррациональным. Противоречие возникло из-за нашего неверного предположения о том, что сумма $S$ рациональна.

Следовательно, исходное предположение неверно, а это значит, что сумма рационального и иррационального чисел не может быть рациональным числом. Она обязана быть иррациональной.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма рационального и иррационального чисел всегда является иррациональным числом.

12.14 Докажите, что произведение рационального (отличного от нуля) и иррационального чисел есть число иррациональное.

12.14 Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом от противного.

Пусть $r$ — рациональное число, причем $r \neq 0$, а $i$ — иррациональное число. Обозначим их произведение как $p = r \cdot i$.

Предположим, что их произведение $p$ является рациональным числом.

По определению, любое рациональное число можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ и $n$ — целые числа, и $n \neq 0$.

Итак, пусть:

$r = \frac{a}{b}$, где $a, b$ — целые числа, $a \neq 0$ и $b \neq 0$ (поскольку по условию $r$ — рациональное и отличное от нуля).

$p = \frac{c}{d}$, где $c, d$ — целые числа, и $d \neq 0$ (согласно нашему предположению, что $p$ — рациональное число).

Из равенства $p = r \cdot i$ выразим иррациональное число $i$. Так как $r \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $r$:

$i = \frac{p}{r}$

Теперь подставим в это выражение дроби, которыми мы представили числа $p$ и $r$:

$i = \frac{\frac{c}{d}}{\frac{a}{b}} = \frac{c}{d} \cdot \frac{b}{a} = \frac{c \cdot b}{d \cdot a}$

Рассмотрим полученное выражение для $i$. Поскольку $a, b, c, d$ — целые числа, то их произведения $c \cdot b$ и $d \cdot a$ также являются целыми числами. Знаменатель $d \cdot a$ не равен нулю, так как по условию $d \neq 0$ и $a \neq 0$.

Таким образом, мы представили число $i$ в виде отношения двух целых чисел, где знаменатель не равен нулю. По определению, это означает, что число $i$ является рациональным числом.

Однако это противоречит нашему первоначальному условию, согласно которому $i$ — иррациональное число. Полученное противоречие возникло из-за нашего предположения о том, что произведение $p$ является рациональным числом. Следовательно, это предположение неверно.

Значит, произведение рационального (отличного от нуля) и иррационального чисел есть число иррациональное. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано методом от противного. Если предположить, что произведение рационального числа $r \neq 0$ и иррационального числа $i$ является рациональным числом $p$, то иррациональное число $i$ можно выразить как частное двух рациональных чисел $p$ и $r$ (а именно $i = p/r$). Частное двух рациональных чисел (при делителе, не равном нулю) является рациональным числом. Это приводит к выводу, что $i$ — рациональное число, что противоречит исходному условию. Следовательно, произведение $r \cdot i$ должно быть иррациональным.

12.15 Пусть $r$ — рациональное число, $\alpha$ — иррациональное число. Рациональным или иррациональным является число:

а) $r + \alpha$;

б) $\alpha^2$;

в) $2\alpha$;

г) $r^2 - \alpha^2$?

По условию задачи, $r$ — рациональное число, а $\alpha$ — иррациональное число. Напомним, что рациональное число можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное. Иррациональное число так представить нельзя. Сумма, разность и произведение двух рациональных чисел всегда являются рациональными числами. Частное от деления двух рациональных чисел (где делитель не равен нулю) также является рациональным числом.

а) r + α

Докажем от противного. Предположим, что сумма $r + \alpha$ является рациональным числом. Обозначим эту сумму как $s$, где $s$ — рациональное число. Тогда $r + \alpha = s$.

Выразим $\alpha$ из этого равенства: $\alpha = s - r$.

По условию, $r$ — рациональное число. Число $s$ мы предположили рациональным. Разность двух рациональных чисел ($s$ и $r$) также является рациональным числом. Следовательно, $\alpha$ должно быть рациональным числом.

Однако это противоречит исходному условию, что $\alpha$ — иррациональное число. Значит, наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: иррациональное число.

б) α²

Рассмотрим два примера, чтобы определить, может ли $\alpha^2$ быть как рациональным, так и иррациональным числом.

1. Пусть иррациональное число $\alpha = \sqrt{2}$. Тогда $\alpha^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$. Число 2 является рациональным.

2. Пусть иррациональное число $\alpha = \sqrt[4]{2}$. Тогда $\alpha^2 = (\sqrt[4]{2})^2 = \sqrt{2}$. Число $\sqrt{2}$ является иррациональным.

Поскольку результат зависит от выбора иррационального числа $\alpha$, однозначно определить, является ли $\alpha^2$ рациональным или иррациональным, невозможно.

Ответ: может быть как рациональным, так и иррациональным числом.

в) 2α

Докажем от противного. Предположим, что произведение $2\alpha$ является рациональным числом. Обозначим это произведение как $s$, где $s$ — рациональное число. Тогда $2\alpha = s$.

Выразим $\alpha$ из этого равенства: $\alpha = \frac{s}{2}$.

Число $s$ мы предположили рациональным. Число 2 также является рациональным (и не равно нулю). Частное от деления рационального числа на другое ненулевое рациональное число всегда является рациональным числом. Следовательно, $\alpha$ должно быть рациональным числом.

Это противоречит исходному условию, что $\alpha$ — иррациональное число. Значит, наше предположение было неверным.

Ответ: иррациональное число.

г) r² - α²

Рассмотрим, каким может быть это выражение. Поскольку $r$ — рациональное число, его квадрат $r^2$ также является рациональным числом. Задача сводится к анализу разности $q - \alpha^2$, где $q = r^2$ — рациональное число.

Как мы показали в пункте б), число $\alpha^2$ может быть как рациональным, так и иррациональным.

1. Если $\alpha^2$ — рациональное число. Например, пусть $r = 3$ и $\alpha = \sqrt{2}$. Тогда $r^2 - \alpha^2 = 3^2 - (\sqrt{2})^2 = 9 - 2 = 7$. Число 7 является рациональным.

2. Если $\alpha^2$ — иррациональное число. Например, пусть $r = 3$ и $\alpha = \sqrt[4]{2}$. Тогда $\alpha^2 = \sqrt{2}$, что является иррациональным числом. В этом случае $r^2 - \alpha^2 = 3^2 - \sqrt{2} = 9 - \sqrt{2}$. Эта разность является иррациональным числом (согласно свойству, доказанному в пункте а), разность рационального и иррационального чисел иррациональна).

Поскольку результат зависит от выбора иррационального числа $\alpha$, однозначно определить, является ли $r^2 - \alpha^2$ рациональным или иррациональным, невозможно.

Ответ: может быть как рациональным, так и иррациональным числом.

12.16 Докажите, что на графике функции $y = \sqrt{2} \cdot x$ имеется только одна точка, у которой и абсцисса и ордината — целые числа. Постройте график этой функции.

Докажем, что на графике функции $y = \sqrt{2} \cdot x$ имеется только одна точка, у которой и абсцисса и ордината — целые числа.

Пусть $(x, y)$ — точка на графике данной функции, у которой и абсцисса $x$, и ордината $y$ являются целыми числами. Это означает, что $x \in \mathbb{Z}$ и $y \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два возможных случая для значения $x$.

1. Если абсцисса $x = 0$. Подставим это значение в уравнение функции:
$y = \sqrt{2} \cdot 0 = 0$.
Полученное значение $y = 0$ является целым числом. Следовательно, точка с координатами $(0, 0)$ принадлежит графику функции и имеет целые абсциссу и ординату.

2. Если абсцисса $x \neq 0$. Предположим, что существует точка с ненулевой целой абсциссой $x$ и целой ординатой $y$. Из уравнения функции $y = \sqrt{2}x$ мы можем выразить $\sqrt{2}$:
$\sqrt{2} = \frac{y}{x}$.
По нашему предположению, $x$ и $y$ — целые числа, причем $x \neq 0$. Это означает, что их отношение $\frac{y}{x}$ является рациональным числом. Однако известно, что число $\sqrt{2}$ является иррациональным, то есть его невозможно представить в виде дроби, где числитель и знаменатель — целые числа.

Мы пришли к противоречию, из которого следует, что наше предположение о существовании точки с ненулевой целой абсциссой было неверным.

Таким образом, единственно возможный случай — это $x=0$, который дает $y=0$. Значит, на графике функции $y = \sqrt{2}x$ есть только одна точка с целыми координатами — это точка $(0, 0)$.

Ответ: Единственная точка с целыми координатами на графике функции $y = \sqrt{2}x$ — это начало координат $(0, 0)$. Это доказывается тем, что для любого ненулевого целого $x$ значение $y = \sqrt{2}x$ будет иррациональным числом, а для $x=0$ мы получаем $y=0$, что является целым числом.

Построим график функции $y = \sqrt{2}x$.

Функция $y = \sqrt{2}x$ является прямой пропорциональностью вида $y = kx$ с коэффициентом $k = \sqrt{2}$. Графиком такой функции является прямая линия, которая проходит через начало координат, точку $(0, 0)$.

Для построения прямой нам нужна еще хотя бы одна точка. Выберем произвольное значение $x$, например, $x = 1$. Тогда ордината будет равна:
$y = \sqrt{2} \cdot 1 = \sqrt{2}$.
Так как $\sqrt{2} \approx 1.41$, мы получили точку $(1, \sqrt{2})$ или примерно $(1, 1.41)$.

Соединив точки $(0, 0)$ и $(1, \sqrt{2})$ прямой линией, мы получим искомый график функции $y = \sqrt{2}x$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{2}x$ — это прямая, проходящая через начало координат $(0,0)$ и, например, точку $(1, \sqrt{2})$. График представлен на рисунке выше.

12.17 Докажите, что на графике функции $y = \sqrt{3} \cdot x + \sqrt{3}$ имеется только одна точка, у которой и абсцисса и ордината — целые числа.

Постройте график этой функции.

Докажите, что на графике функции $y = \sqrt{3} \cdot x + \sqrt{3}$ имеется только одна точка, у которой и абсцисса и ордината — целые числа.

Дана функция $y = \sqrt{3} \cdot x + \sqrt{3}$. Преобразуем уравнение, вынеся $\sqrt{3}$ за скобки: $y = \sqrt{3}(x + 1)$.

По условию, мы ищем точку $(x, y)$ на графике, где и абсцисса $x$, и ордината $y$ являются целыми числами (то есть $x \in \mathbb{Z}$ и $y \in \mathbb{Z}$).

Рассмотрим уравнение $y = \sqrt{3}(x + 1)$. Поскольку $x$ — целое число, то выражение $x + 1$ также является целым числом. Число $\sqrt{3}$ является иррациональным.

Произведение иррационального числа (в данном случае $\sqrt{3}$) на любое ненулевое целое число (в данном случае $x+1$) всегда является иррациональным числом. Однако, по условию, $y$ должно быть целым числом. Целое число не может быть иррациональным. Следовательно, равенство $y = \sqrt{3}(x + 1)$ для целого $y$ возможно только в одном случае: когда множитель при $\sqrt{3}$ равен нулю.

Приравняем этот множитель к нулю: $x + 1 = 0$ $x = -1$

Значение $x = -1$ является целым, что соответствует условию. Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=-1$ в уравнение функции: $y = \sqrt{3}(-1 + 1) = \sqrt{3} \cdot 0 = 0$.

Значение $y = 0$ также является целым числом. Таким образом, существует только одна точка с целочисленными координатами — $(-1, 0)$. Если бы мы взяли любое другое целое значение $x$ (то есть $x \neq -1$), то $x+1$ было бы ненулевым целым числом, а $y$ — иррациональным, что противоречит условию. Что и требовалось доказать.

Ответ: Единственная точка с целочисленными координатами на графике функции — это точка $(-1, 0)$.

Постройте график этой функции.

Функция $y = \sqrt{3}x + \sqrt{3}$ является линейной, ее график — прямая. Для построения прямой найдем координаты двух точек.

1. Найдем точку пересечения с осью абсцисс (OX), для чего положим $y = 0$: $0 = \sqrt{3}x + \sqrt{3} \implies \sqrt{3}x = -\sqrt{3} \implies x = -1$. Получаем точку $(-1, 0)$.

2. Найдем точку пересечения с осью ординат (OY), для чего положим $x = 0$: $y = \sqrt{3} \cdot 0 + \sqrt{3} \implies y = \sqrt{3}$. Получаем точку $(0, \sqrt{3})$.

Для построения графика необходимо начертить координатные оси, отметить на них точки $(-1, 0)$ и $(0, \sqrt{3})$ (учитывая, что $\sqrt{3} \approx 1.73$), а затем провести через эти две точки прямую. Эта прямая является графиком функции $y = \sqrt{3}x + \sqrt{3}$. Угол наклона этой прямой к положительному направлению оси OX составляет $60^\circ$, так как угловой коэффициент $k = \tan(\alpha) = \sqrt{3}$.

Ответ: График функции — это прямая, проходящая через точки $(-1, 0)$ и $(0, \sqrt{3})$.