Номер 12.16, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 12. Иррациональные числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 12.16, страница 68.

Условие.

12.16 Докажите, что на графике функции $y = \sqrt{2} \cdot x$ имеется только одна точка, у которой и абсцисса и ордината — целые числа. Постройте график этой функции.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Докажем, что на графике функции $y = \sqrt{2} \cdot x$ имеется только одна точка, у которой и абсцисса и ордината — целые числа.

Пусть $(x, y)$ — точка на графике данной функции, у которой и абсцисса $x$, и ордината $y$ являются целыми числами. Это означает, что $x \in \mathbb{Z}$ и $y \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два возможных случая для значения $x$.

1. Если абсцисса $x = 0$. Подставим это значение в уравнение функции:
$y = \sqrt{2} \cdot 0 = 0$.
Полученное значение $y = 0$ является целым числом. Следовательно, точка с координатами $(0, 0)$ принадлежит графику функции и имеет целые абсциссу и ординату.

2. Если абсцисса $x \neq 0$. Предположим, что существует точка с ненулевой целой абсциссой $x$ и целой ординатой $y$. Из уравнения функции $y = \sqrt{2}x$ мы можем выразить $\sqrt{2}$:
$\sqrt{2} = \frac{y}{x}$.
По нашему предположению, $x$ и $y$ — целые числа, причем $x \neq 0$. Это означает, что их отношение $\frac{y}{x}$ является рациональным числом. Однако известно, что число $\sqrt{2}$ является иррациональным, то есть его невозможно представить в виде дроби, где числитель и знаменатель — целые числа.

Мы пришли к противоречию, из которого следует, что наше предположение о существовании точки с ненулевой целой абсциссой было неверным.

Таким образом, единственно возможный случай — это $x=0$, который дает $y=0$. Значит, на графике функции $y = \sqrt{2}x$ есть только одна точка с целыми координатами — это точка $(0, 0)$.

Ответ: Единственная точка с целыми координатами на графике функции $y = \sqrt{2}x$ — это начало координат $(0, 0)$. Это доказывается тем, что для любого ненулевого целого $x$ значение $y = \sqrt{2}x$ будет иррациональным числом, а для $x=0$ мы получаем $y=0$, что является целым числом.

Построим график функции $y = \sqrt{2}x$.

Функция $y = \sqrt{2}x$ является прямой пропорциональностью вида $y = kx$ с коэффициентом $k = \sqrt{2}$. Графиком такой функции является прямая линия, которая проходит через начало координат, точку $(0, 0)$.

Для построения прямой нам нужна еще хотя бы одна точка. Выберем произвольное значение $x$, например, $x = 1$. Тогда ордината будет равна:
$y = \sqrt{2} \cdot 1 = \sqrt{2}$.
Так как $\sqrt{2} \approx 1.41$, мы получили точку $(1, \sqrt{2})$ или примерно $(1, 1.41)$.

Соединив точки $(0, 0)$ и $(1, \sqrt{2})$ прямой линией, мы получим искомый график функции $y = \sqrt{2}x$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{2}x$ — это прямая, проходящая через начало координат $(0,0)$ и, например, точку $(1, \sqrt{2})$. График представлен на рисунке выше.