Номер 12.14, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 12. Иррациональные числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 12.14, страница 68.

Условие.

12.14 Докажите, что произведение рационального (отличного от нуля) и иррационального чисел есть число иррациональное.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

12.14 Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом от противного.

Пусть $r$ — рациональное число, причем $r \neq 0$, а $i$ — иррациональное число. Обозначим их произведение как $p = r \cdot i$.

Предположим, что их произведение $p$ является рациональным числом.

По определению, любое рациональное число можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ и $n$ — целые числа, и $n \neq 0$.

Итак, пусть:

$r = \frac{a}{b}$, где $a, b$ — целые числа, $a \neq 0$ и $b \neq 0$ (поскольку по условию $r$ — рациональное и отличное от нуля).

$p = \frac{c}{d}$, где $c, d$ — целые числа, и $d \neq 0$ (согласно нашему предположению, что $p$ — рациональное число).

Из равенства $p = r \cdot i$ выразим иррациональное число $i$. Так как $r \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $r$:

$i = \frac{p}{r}$

Теперь подставим в это выражение дроби, которыми мы представили числа $p$ и $r$:

$i = \frac{\frac{c}{d}}{\frac{a}{b}} = \frac{c}{d} \cdot \frac{b}{a} = \frac{c \cdot b}{d \cdot a}$

Рассмотрим полученное выражение для $i$. Поскольку $a, b, c, d$ — целые числа, то их произведения $c \cdot b$ и $d \cdot a$ также являются целыми числами. Знаменатель $d \cdot a$ не равен нулю, так как по условию $d \neq 0$ и $a \neq 0$.

Таким образом, мы представили число $i$ в виде отношения двух целых чисел, где знаменатель не равен нулю. По определению, это означает, что число $i$ является рациональным числом.

Однако это противоречит нашему первоначальному условию, согласно которому $i$ — иррациональное число. Полученное противоречие возникло из-за нашего предположения о том, что произведение $p$ является рациональным числом. Следовательно, это предположение неверно.

Значит, произведение рационального (отличного от нуля) и иррационального чисел есть число иррациональное. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано методом от противного. Если предположить, что произведение рационального числа $r \neq 0$ и иррационального числа $i$ является рациональным числом $p$, то иррациональное число $i$ можно выразить как частное двух рациональных чисел $p$ и $r$ (а именно $i = p/r$). Частное двух рациональных чисел (при делителе, не равном нулю) является рациональным числом. Это приводит к выводу, что $i$ — рациональное число, что противоречит исходному условию. Следовательно, произведение $r \cdot i$ должно быть иррациональным.