Номер 12.8, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 12. Иррациональные числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 12.8, страница 68.

Условие.

12.8 а) Приведите пример двух иррациональных чисел, сумма которых — рациональное число.

б) Приведите пример двух иррациональных чисел, сумма которых — иррациональное число.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Требуется найти два иррациональных числа, сумма которых является рациональным числом. Иррациональное число — это действительное число, которое не может быть выражено в виде дроби $m/n$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Классическим примером иррационального числа является $\sqrt{2}$.

Рассмотрим число $a = \sqrt{2}$. Оно иррациональное.

Теперь возьмем число $b = -\sqrt{2}$. Это число также является иррациональным, так как оно противоположно иррациональному числу.

Найдем сумму этих двух чисел:

$a + b = \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$.

Сумма равна 0. Число 0 является рациональным, так как его можно представить в виде дроби, например $0/1$. Таким образом, мы нашли два иррациональных числа ($\sqrt{2}$ и $-\sqrt{2}$), сумма которых является рациональным числом (0).

В качестве другого примера можно взять числа $5 + \pi$ и $-\pi$. Оба числа иррациональны, а их сумма равна $(5 + \pi) + (-\pi) = 5$, что является рациональным числом.

Ответ: $\sqrt{2}$ и $-\sqrt{2}$.

б)

Требуется найти два иррациональных числа, сумма которых также является иррациональным числом.

Возьмем в качестве первого иррационального числа $a = \sqrt{2}$.

В качестве второго иррационального числа возьмем $b = \sqrt{3}$.

Найдем сумму этих двух чисел:

$a + b = \sqrt{2} + \sqrt{3}$.

Докажем, что полученная сумма является иррациональным числом. Предположим обратное: пусть $\sqrt{2} + \sqrt{3} = r$, где $r$ — рациональное число.

Возведем обе части равенства в квадрат:

$(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = r^2$

$2 + 2\sqrt{2}\sqrt{3} + 3 = r^2$

$5 + 2\sqrt{6} = r^2$

Выразим $\sqrt{6}$:

$2\sqrt{6} = r^2 - 5$

$\sqrt{6} = \frac{r^2 - 5}{2}$

Поскольку $r$ — рациональное число, то $r^2$ также рационально. Разность рациональных чисел ($r^2 - 5$) и частное от деления рационального числа на рациональное ($\frac{r^2 - 5}{2}$) также являются рациональными числами. Следовательно, из нашего предположения вытекает, что $\sqrt{6}$ — рациональное число. Однако $\sqrt{6}$ является иррациональным числом, так как 6 не является полным квадратом. Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным, и число $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ на самом деле иррациональное.

Более простой пример: $\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$. Оба числа иррациональны. Их сумма равна $\sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$. Это число также иррационально.

Ответ: $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$.