Номер 12.11, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 12. Иррациональные числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 12.11, страница 68.

Условие.

12.11 Приведите примеры, показывающие, что квадратный корень из рационального числа может быть выражен:

а) целым числом;

б) конечной десятичной дробью;

в) бесконечной десятичной непериодической дробью;

г) бесконечной десятичной периодической дробью.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) целым числом;

Квадратный корень из рационального числа будет целым числом, если само рациональное число является полным квадратом некоторого целого числа. Поскольку любое целое число является рациональным, мы можем выбрать в качестве примера любой полный квадрат. Например, возьмем рациональное число 16.
$ \sqrt{16} = 4 $
Число 4 является целым.
Ответ: например, $ \sqrt{16} = 4 $.

б) конечной десятичной дробью;

Квадратный корень из рационального числа будет конечной десятичной дробью, если подкоренное число является квадратом другой конечной десятичной дроби. Например, возьмем рациональное число 2,25, которое можно записать как $ \frac{225}{100} $ или $ \frac{9}{4} $. Это число является квадратом дроби 1,5.
$ \sqrt{2,25} = 1,5 $
Число 1,5 является конечной десятичной дробью.
Ответ: например, $ \sqrt{2,25} = 1,5 $.

в) бесконечной десятичной непериодической дробью;

Квадратный корень из рационального числа является бесконечной десятичной непериодической дробью (то есть иррациональным числом), если подкоренное рациональное число не является квадратом какого-либо рационального числа. Например, возьмем рациональное число 2.
$ \sqrt{2} \approx 1,41421356... $
Это число является бесконечной непериодической десятичной дробью.
Ответ: например, $ \sqrt{2} $.

г) бесконечной десятичной периодической дробью.

Квадратный корень из рационального числа будет бесконечной десятичной периодической дробью, если он сам является рациональным числом, которое представляется в виде такой дроби. Для этого подкоренное число должно быть квадратом такого рационального числа. Возьмем рациональное число $ \frac{1}{3} $, которое представляется в виде бесконечной периодической дроби $ 0,(3) $. Возведем его в квадрат: $ (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9} $. Теперь извлечем корень из полученного рационального числа $ \frac{1}{9} $.
$ \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3} = 0,333... = 0,(3) $
Результат — бесконечная десятичная периодическая дробь.
Ответ: например, $ \sqrt{\frac{1}{9}} = 0,(3) $.