Номер 12.17, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 12. Иррациональные числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 12.17, страница 68.

Условие.

12.17 Докажите, что на графике функции $y = \sqrt{3} \cdot x + \sqrt{3}$ имеется только одна точка, у которой и абсцисса и ордината — целые числа.

Постройте график этой функции.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Докажите, что на графике функции $y = \sqrt{3} \cdot x + \sqrt{3}$ имеется только одна точка, у которой и абсцисса и ордината — целые числа.

Дана функция $y = \sqrt{3} \cdot x + \sqrt{3}$. Преобразуем уравнение, вынеся $\sqrt{3}$ за скобки: $y = \sqrt{3}(x + 1)$.

По условию, мы ищем точку $(x, y)$ на графике, где и абсцисса $x$, и ордината $y$ являются целыми числами (то есть $x \in \mathbb{Z}$ и $y \in \mathbb{Z}$).

Рассмотрим уравнение $y = \sqrt{3}(x + 1)$. Поскольку $x$ — целое число, то выражение $x + 1$ также является целым числом. Число $\sqrt{3}$ является иррациональным.

Произведение иррационального числа (в данном случае $\sqrt{3}$) на любое ненулевое целое число (в данном случае $x+1$) всегда является иррациональным числом. Однако, по условию, $y$ должно быть целым числом. Целое число не может быть иррациональным. Следовательно, равенство $y = \sqrt{3}(x + 1)$ для целого $y$ возможно только в одном случае: когда множитель при $\sqrt{3}$ равен нулю.

Приравняем этот множитель к нулю: $x + 1 = 0$ $x = -1$

Значение $x = -1$ является целым, что соответствует условию. Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=-1$ в уравнение функции: $y = \sqrt{3}(-1 + 1) = \sqrt{3} \cdot 0 = 0$.

Значение $y = 0$ также является целым числом. Таким образом, существует только одна точка с целочисленными координатами — $(-1, 0)$. Если бы мы взяли любое другое целое значение $x$ (то есть $x \neq -1$), то $x+1$ было бы ненулевым целым числом, а $y$ — иррациональным, что противоречит условию. Что и требовалось доказать.

Ответ: Единственная точка с целочисленными координатами на графике функции — это точка $(-1, 0)$.

Постройте график этой функции.

Функция $y = \sqrt{3}x + \sqrt{3}$ является линейной, ее график — прямая. Для построения прямой найдем координаты двух точек.

1. Найдем точку пересечения с осью абсцисс (OX), для чего положим $y = 0$: $0 = \sqrt{3}x + \sqrt{3} \implies \sqrt{3}x = -\sqrt{3} \implies x = -1$. Получаем точку $(-1, 0)$.

2. Найдем точку пересечения с осью ординат (OY), для чего положим $x = 0$: $y = \sqrt{3} \cdot 0 + \sqrt{3} \implies y = \sqrt{3}$. Получаем точку $(0, \sqrt{3})$.

Для построения графика необходимо начертить координатные оси, отметить на них точки $(-1, 0)$ и $(0, \sqrt{3})$ (учитывая, что $\sqrt{3} \approx 1.73$), а затем провести через эти две точки прямую. Эта прямая является графиком функции $y = \sqrt{3}x + \sqrt{3}$. Угол наклона этой прямой к положительному направлению оси OX составляет $60^\circ$, так как угловой коэффициент $k = \tan(\alpha) = \sqrt{3}$.

Ответ: График функции — это прямая, проходящая через точки $(-1, 0)$ и $(0, \sqrt{3})$.