Номер 13.6, страница 69, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 13. Множество действительных чисел. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 13.6, страница 69.

Условие.

13.6 a) $3,(7)$ и $\frac{26}{7}$;

б) $0,(1)$ и $\frac{1}{9}$;

в) $6,(3)$ и $\frac{19}{3}$;

г) $4,(2)$ и $\frac{21}{5}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Чтобы сравнить числа $3,(7)$ и $\frac{26}{7}$, представим периодическую дробь $3,(7)$ в виде обыкновенной дроби. Для этого воспользуемся стандартным методом.

Пусть $x = 3,(7) = 3,777...$

Умножим обе части этого равенства на 10, чтобы сдвинуть запятую на один знак вправо (на длину периода):

$10x = 37,777...$

Теперь вычтем из второго уравнения первое. Дробные части при этом сократятся:

$10x - x = 37,777... - 3,777...$

$9x = 34$

$x = \frac{34}{9}$

Теперь нам нужно сравнить две обыкновенные дроби: $\frac{34}{9}$ и $\frac{26}{7}$. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 9 и 7 равен $9 \times 7 = 63$.

$\frac{34}{9} = \frac{34 \times 7}{9 \times 7} = \frac{238}{63}$

$\frac{26}{7} = \frac{26 \times 9}{7 \times 9} = \frac{234}{63}$

Сравниваем числители полученных дробей: $238 > 234$.

Следовательно, $\frac{238}{63} > \frac{234}{63}$, а значит, и $\frac{34}{9} > \frac{26}{7}$.

Таким образом, $3,(7) > \frac{26}{7}$.

Ответ: $3,(7) > \frac{26}{7}$.

б)

Сравним числа $0,(1)$ и $\frac{1}{9}$. Представим периодическую дробь $0,(1)$ в виде обыкновенной дроби.

Пусть $x = 0,(1) = 0,111...$

Умножим обе части на 10:

$10x = 1,111...$

Вычтем из второго уравнения первое:

$10x - x = 1,111... - 0,111...$

$9x = 1$

$x = \frac{1}{9}$

Таким образом, $0,(1)$ в точности равно $\frac{1}{9}$.

Ответ: $0,(1) = \frac{1}{9}$.

в)

Сравним числа $6,(3)$ и $\frac{19}{3}$. Представим периодическую дробь $6,(3)$ в виде обыкновенной дроби.

Пусть $x = 6,(3) = 6,333...$

Умножим обе части на 10:

$10x = 63,333...$

Вычтем из второго уравнения первое:

$10x - x = 63,333... - 6,333...$

$9x = 57$

$x = \frac{57}{9}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:

$x = \frac{57 \div 3}{9 \div 3} = \frac{19}{3}$

Таким образом, $6,(3)$ в точности равно $\frac{19}{3}$.

Ответ: $6,(3) = \frac{19}{3}$.

г)

Сравним числа $4,(2)$ и $\frac{21}{5}$. Для этого можно перевести обыкновенную дробь в десятичную, так как знаменатель 5 позволяет получить конечную десятичную дробь.

Переведем дробь $\frac{21}{5}$ в десятичную:

$\frac{21}{5} = \frac{21 \times 2}{5 \times 2} = \frac{42}{10} = 4,2$

Теперь сравним $4,(2)$ и $4,2$.

Число $4,(2)$ является периодической дробью и равно $4,222...$

Сравнивая $4,222...$ и $4,200...$, мы видим, что первая дробь больше, так как ее цифра в разряде сотых (2) больше, чем у второй дроби (0).

Следовательно, $4,(2) > 4,2$, а значит $4,(2) > \frac{21}{5}$.

Ответ: $4,(2) > \frac{21}{5}$.