Номер 13.10, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 13. Множество действительных чисел. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 13.10, страница 70.

Условие.

13.10 Даны выражения $a(a + 2)$ и $(a - 3)(a + 2)$. Не выполняя действий, сравните значения этих выражений при:

а) $a = 2$;

б) $a = -\sqrt{3}$;

в) $a = 3,23$;

г) $a = -\sqrt{5}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Чтобы сравнить значения выражений $a(a + 2)$ и $(a - 3)(a + 2)$, не выполняя вычислений, мы можем проанализировать их структуру. Оба выражения имеют общий множитель $(a + 2)$. Отличаются они вторыми множителями: $a$ и $(a - 3)$.

Для любого действительного числа $a$ всегда верно, что $a > a - 3$ (поскольку от $a$ отнимается положительное число 3).

Теперь, чтобы сравнить исходные выражения, нам нужно умножить обе части неравенства $a > a - 3$ на общий множитель $(a + 2)$. Результат будет зависеть от знака этого множителя:

• Если $(a + 2) > 0$ (то есть $a > -2$), то знак неравенства сохранится: $a(a + 2) > (a - 3)(a + 2)$.
• Если $(a + 2) < 0$ (то есть $a < -2$), то знак неравенства изменится на противоположный: $a(a + 2) < (a - 3)(a + 2)$.
• Если $(a + 2) = 0$ (то есть $a = -2$), то оба выражения будут равны нулю: $a(a + 2) = (a - 3)(a + 2)$.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) При $a = 2$.

Так как $2 > -2$, то значение множителя $(a + 2)$ положительно. Следовательно, знак неравенства сохраняется.

Ответ: $a(a + 2) > (a - 3)(a + 2)$.

б) При $a = -\sqrt{3}$.

Сравним $a = -\sqrt{3}$ с числом $-2$. Мы знаем, что $3 < 4$, значит $\sqrt{3} < \sqrt{4}$, или $\sqrt{3} < 2$. Умножив обе части неравенства на $-1$, мы меняем знак неравенства: $-\sqrt{3} > -2$. Поскольку $a > -2$, множитель $(a + 2)$ положителен, и знак исходного неравенства сохраняется.

Ответ: $a(a + 2) > (a - 3)(a + 2)$.

в) При $a = 3,23$.

Так как $3,23 > -2$, то значение множителя $(a + 2)$ положительно. Следовательно, знак неравенства сохраняется.

Ответ: $a(a + 2) > (a - 3)(a + 2)$.

г) При $a = -\sqrt{5}$.

Сравним $a = -\sqrt{5}$ с числом $-2$. Мы знаем, что $5 > 4$, значит $\sqrt{5} > \sqrt{4}$, или $\sqrt{5} > 2$. Умножив обе части неравенства на $-1$, мы меняем знак неравенства: $-\sqrt{5} < -2$. Поскольку $a < -2$, множитель $(a + 2)$ отрицателен. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

Ответ: $a(a + 2) < (a - 3)(a + 2)$.