Номер 13.16, страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 13. Множество действительных чисел. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 13.16, страница 71.

Условие.

Расположите в порядке возрастания числа:

13.16 а) $\sqrt{5}$; 0; $\frac{13}{6}$;

б) $\pi$; 3; 3,1;

в) $\frac{\pi}{6}$; 0,3; 0,5;

г) -3,2; $-\sqrt{10}$; -3.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы расположить числа $\sqrt{5}; 0; \frac{13}{6}$ в порядке возрастания, сравним их значения.

Одно из чисел равно $0$.

Дробь $\frac{13}{6}$ можно представить в виде смешанного числа $2\frac{1}{6}$ или десятичной дроби $2,166...$. Очевидно, что $0 < \frac{13}{6}$.

Теперь сравним $\sqrt{5}$ с другими числами. Так как $2^2=4$ и $3^2=9$, то $2 < \sqrt{5} < 3$. Значит, $\sqrt{5} > \frac{13}{6} > 0$.

Для более точного сравнения $\sqrt{5}$ и $\frac{13}{6}$ возведем оба положительных числа в квадрат:

$(\sqrt{5})^2 = 5$

$(\frac{13}{6})^2 = \frac{169}{36}$

Сравним $5$ и $\frac{169}{36}$. Представим $5$ как дробь со знаменателем $36$: $5 = \frac{5 \cdot 36}{36} = \frac{180}{36}$.

Так как $180 > 169$, то $\frac{180}{36} > \frac{169}{36}$, следовательно $5 > (\frac{13}{6})^2$, а значит $\sqrt{5} > \frac{13}{6}$.

Таким образом, числа в порядке возрастания располагаются так: $0 < \frac{13}{6} < \sqrt{5}$.

Ответ: $0; \frac{13}{6}; \sqrt{5}$.

б) Чтобы расположить числа $\pi; 3; 3,1$ в порядке возрастания, вспомним приближенное значение числа $\pi$.

Число $\pi$ является иррациональным, его значение приблизительно равно $3,14159...$

Сравниваем числа $3$, $3,1$ и $\pi \approx 3,14159...$.

Очевидно, что $3$ — наименьшее число.

Сравнивая $3,1$ и $\pi$, видим, что $3,1 < 3,14159...$, значит $3,1 < \pi$.

Получаем следующую последовательность: $3 < 3,1 < \pi$.

Ответ: $3; 3,1; \pi$.

в) Чтобы расположить числа $\frac{\pi}{6}; 0,3; 0,5$ в порядке возрастания, найдем приближенное значение дроби $\frac{\pi}{6}$.

Используя приближение $\pi \approx 3,14$, получаем:

$\frac{\pi}{6} \approx \frac{3,14}{6} \approx 0,523...$

Теперь сравним десятичные дроби: $0,3$, $0,5$ и $0,523...$.

В порядке возрастания они располагаются так: $0,3 < 0,5 < 0,523...$.

Следовательно, исходные числа в порядке возрастания: $0,3 < 0,5 < \frac{\pi}{6}$.

Ответ: $0,3; 0,5; \frac{\pi}{6}$.

г) Чтобы расположить отрицательные числа $-3,2; -\sqrt{10}; -3$ в порядке возрастания, нужно сравнить их модули. Чем больше модуль отрицательного числа, тем оно меньше.

Сравним модули этих чисел: $|-3,2|=3,2$; $|-\sqrt{10}|=\sqrt{10}$; $|-3|=3$.

Для сравнения положительных чисел $3,2$, $\sqrt{10}$ и $3$ возведем их в квадрат:

$(3,2)^2 = 10,24$

$(\sqrt{10})^2 = 10$

$3^2 = 9$

Сравнивая квадраты, получаем: $9 < 10 < 10,24$.

Это означает, что для модулей выполняется неравенство: $3 < \sqrt{10} < 3,2$.

Для отрицательных чисел порядок будет обратным: $-3,2 < -\sqrt{10} < -3$.

Ответ: $-3,2; -\sqrt{10}; -3$.