Номер 13.20, страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 13. Множество действительных чисел. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 13.20, страница 71.

Условие.

13.20 Известно, что $b < 3$. Какой знак имеет выражение:

а) $(b - 1)^2 (b - 3);

б) $\frac{b - 4}{3 - b};

в) $14 - 4b;

г) $\frac{b^2 + 1}{(b - 7)(3 - b)}?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

a) $(b-1)^2(b-3)$
Определим знак каждого множителя в выражении.
Множитель $(b-1)^2$ является квадратом действительного числа, следовательно, он всегда неотрицателен: $(b-1)^2 \ge 0$. Он равен нулю при $b=1$.
Множитель $(b-3)$ является отрицательным, так как из условия $b < 3$ следует, что $b-3 < 0$.
Произведение неотрицательного числа (при $b \ne 1$ — положительного) и отрицательного числа является неположительным числом (то есть отрицательным или равным нулю).
Ответ: выражение неположительное (отрицательное или равно нулю).

б) $\frac{b-4}{3-b}$
Определим знак числителя и знаменателя дроби.
Числитель: $b-4$. Поскольку по условию $b < 3$, а $3 < 4$, то $b < 4$. Следовательно, $b-4 < 0$. Числитель отрицательный.
Знаменатель: $3-b$. Поскольку по условию $b < 3$, то $3-b > 0$. Знаменатель положительный.
Частное от деления отрицательного числа на положительное есть число отрицательное.
Ответ: выражение имеет отрицательный знак.

в) $14-4b$
Исходя из условия $b < 3$, выполним равносильные преобразования неравенства.
1. Умножим обе части неравенства на $-4$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$-4 \cdot b > -4 \cdot 3$
$-4b > -12$
2. Прибавим к обеим частям неравенства число 14:
$14 - 4b > 14 - 12$
$14 - 4b > 2$
Поскольку значение выражения всегда больше 2, оно всегда положительно.
Ответ: выражение имеет положительный знак.

г) $\frac{b^2+1}{(b-7)(3-b)}$
Определим знак числителя и знаменателя дроби.
Числитель: $b^2+1$. Так как $b^2$ — квадрат действительного числа, то $b^2 \ge 0$. Следовательно, $b^2+1 \ge 1$. Числитель всегда положительный.
Знаменатель: $(b-7)(3-b)$. Рассмотрим знак каждого множителя в знаменателе.
- Множитель $(b-7)$: так как $b < 3$ и $3 < 7$, то $b < 7$, следовательно $b-7 < 0$. Множитель отрицательный.
- Множитель $(3-b)$: так как $b < 3$, то $3-b > 0$. Множитель положительный.
Произведение отрицательного и положительного множителей дает отрицательный результат, поэтому знаменатель $(b-7)(3-b)$ отрицателен.
Частное от деления положительного числителя на отрицательный знаменатель есть число отрицательное.
Ответ: выражение имеет отрицательный знак.