Номер 14.3, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 14. Функция у = √x, её свойства и график. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 14.3, страница 73.

Условие.

14.3 Постройте график функции $y = -\sqrt{x}$.

С помощью графика найдите:

а) значения $y$ при $x = 1$; $2\frac{1}{4}$; $9$;

б) значения $x$, если $y = 0$; $-2$; $-4$;

в) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [2; 4];

г) при каких значениях $x$ график функции расположен выше прямой $y = -2$, ниже прямой $y = -2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для построения графика функции $y = -\sqrt{x}$ сначала определим её свойства.

1. Область определения функции: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$. Таким образом, $D(y) = [0; +\infty)$.

2. Область значений функции: поскольку $\sqrt{x} \ge 0$, то $-\sqrt{x} \le 0$. Таким образом, $E(y) = (-\infty; 0]$.

График функции $y = -\sqrt{x}$ можно получить из графика функции $y = \sqrt{x}$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси Ox).

Составим таблицу значений для нескольких точек, чтобы построить график:

x	0	1	2.25	4	6.25	9
y	0	-1	-1.5	-2	-2.5	-3

По этим точкам строим график. Он представляет собой ветвь параболы, начинающуюся в точке (0; 0) и уходящую в четвертую координатную четверть.

Теперь, используя построенный график, ответим на вопросы.

а) значения у при x = 1; $2\frac{1}{4}$; 9;

Находим на оси Ox заданные значения $x$ и смотрим, какая ордината (значение $y$) им соответствует на графике.

• При $x = 1$, находим точку на графике с абсциссой 1. Её ордината равна -1.
• При $x = 2\frac{1}{4} = 2.25$, находим точку на графике с абсциссой 2.25. Её ордината равна -1.5.
• При $x = 9$, находим точку на графике с абсциссой 9. Её ордината равна -3.

Ответ: при $x=1, y=-1$; при $x=2\frac{1}{4}, y=-1.5$; при $x=9, y=-3$.

б) значения x, если y = 0; -2; -4;

Находим на оси Oy заданные значения $y$ и смотрим, какая абсцисса (значение $x$) им соответствует на графике.

• Если $y = 0$, точка находится в начале координат, где $x = 0$.
• Если $y = -2$, проводим горизонтальную прямую $y = -2$ до пересечения с графиком. Точка пересечения имеет абсциссу $x=4$. Проверка: $y = -\sqrt{4} = -2$.
• Если $y = -4$, проводим горизонтальную прямую $y = -4$ до пересечения с графиком. Точка пересечения будет иметь абсциссу $x=16$. Проверка: $y = -\sqrt{16} = -4$.

Ответ: если $y=0$, то $x=0$; если $y=-2$, то $x=4$; если $y=-4$, то $x=16$.

в) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [2; 4];

Рассмотрим часть графика, где $x$ изменяется от 2 до 4. Функция $y = -\sqrt{x}$ является монотонно убывающей на всей области определения. Это значит, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$.

Следовательно, на отрезке $[2; 4]$:

• Наибольшее значение будет в начальной точке отрезка, при $x=2$: $y_{наиб} = -\sqrt{2}$.
• Наименьшее значение будет в конечной точке отрезка, при $x=4$: $y_{наим} = -\sqrt{4} = -2$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[2; 4]$ равно $-2$, а наибольшее равно $-\sqrt{2}$.

г) при каких значениях x график функции расположен выше прямой y = -2, ниже прямой y = -2.

Из пункта б) мы знаем, что график функции пересекает прямую $y = -2$ в точке, где $x = 4$.

График функции расположен выше прямой $y = -2$, если выполняется неравенство $y > -2$, то есть $-\sqrt{x} > -2$. Умножив обе части на -1 и изменив знак неравенства, получим $\sqrt{x} < 2$. Поскольку $\sqrt{x}$ определен для $x \ge 0$, имеем систему $0 \le \sqrt{x} < 2$. Возведя в квадрат, получим $0 \le x < 4$.

График функции расположен ниже прямой $y = -2$, если выполняется неравенство $y < -2$, то есть $-\sqrt{x} < -2$. Умножив обе части на -1 и изменив знак неравенства, получим $\sqrt{x} > 2$. Возведя обе части в квадрат, получим $x > 4$.

Ответ: график расположен выше прямой $y = -2$ при $x \in [0; 4)$; ниже прямой $y = -2$ при $x \in (4; +\infty)$.