Номер 14.8, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 14. Функция у = √x, её свойства и график. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 14.8, страница 74.

Условие.

14.8 а) На луче $[0; +\infty);$

б) на луче $[2; +\infty);$

в) на луче $[9; +\infty);$

г) на луче $[5; +\infty).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи по нахождению наибольшего и наименьшего значений функции на заданных лучах, необходимо сначала определить саму функцию. Исходя из нумерации (14.8), можно предположить, что используется функция из соответствующего раздела учебника, а именно $y(x) = x^3 - 6x^2 + 5$.

Для нахождения экстремумов функции на луче, выполним следующие шаги:

1. Найдем производную функции:

$y'(x) = (x^3 - 6x^2 + 5)' = 3x^2 - 12x$

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$3x^2 - 12x = 0$

$3x(x - 4) = 0$

Отсюда получаем критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

3. Определим интервалы возрастания и убывания функции. Производная $y'(x) = 3x(x-4)$ представляет собой параболу с ветвями вверх, пересекающую ось абсцисс в точках 0 и 4.

• При $x \in (-\infty; 0) \cup (4; +\infty)$, $y'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.
• При $x \in (0; 4)$, $y'(x) < 0$, следовательно, функция убывает.

Таким образом, $x=0$ является точкой локального максимума, а $x=4$ — точкой локального минимума.

4. Вычислим значения функции в критических точках:

$y(0) = 0^3 - 6(0)^2 + 5 = 5$

$y(4) = 4^3 - 6(4)^2 + 5 = 64 - 96 + 5 = -27$

Теперь проанализируем поведение функции на каждом из заданных лучей.

а) На луче $[0; +\infty)$

На данном луче находится точка начала $x=0$ и критическая точка $x=4$. На интервале $[0, 4]$ функция убывает от своего локального максимума $y(0)=5$ до локального минимума $y(4)=-27$. На интервале $[4, +\infty)$ функция возрастает. Поскольку $\lim_{x\to+\infty} (x^3 - 6x^2 + 5) = +\infty$, функция не ограничена сверху, и наибольшего значения не существует. Наименьшее значение достигается в точке локального минимума $x=4$.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = -27$, наибольшего значения не существует.

б) на луче $[2; +\infty)$

Рассматриваемый луч начинается в точке $x=2$ и содержит критическую точку $x=4$. Вычислим значение функции в начальной точке луча: $y(2) = 2^3 - 6(2)^2 + 5 = 8 - 24 + 5 = -11$. На промежутке $[2, 4]$ функция убывает, а на промежутке $[4, +\infty)$ — возрастает. Следовательно, наименьшее значение на этом луче достигается в точке $x=4$. Так как функция стремится к $+\infty$ при $x \to +\infty$, наибольшего значения не существует.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = -27$, наибольшего значения не существует.

в) на луче $[9; +\infty)$

Этот луч не содержит критических точек функции. Так как $9 > 4$, на всем луче $[9, +\infty)$ функция монотонно возрастает. Это означает, что наименьшее значение достигается в начальной точке луча, $x=9$. Вычислим это значение: $y(9) = 9^3 - 6(9)^2 + 5 = 729 - 486 + 5 = 248$. Поскольку функция неограниченно возрастает, наибольшего значения на этом луче не существует.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = 248$, наибольшего значения не существует.

г) на луче $[5; +\infty)$

Этот луч также не содержит критических точек. Так как $5 > 4$, на всем луче $[5, +\infty)$ функция монотонно возрастает. Следовательно, наименьшее значение достигается в начальной точке луча, $x=5$. Вычислим это значение: $y(5) = 5^3 - 6(5)^2 + 5 = 125 - 150 + 5 = -20$. Поскольку функция неограниченно возрастает, наибольшего значения на этом луче не существует.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = -20$, наибольшего значения не существует.