Номер 14.11, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 14. Функция у = √x, её свойства и график. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 14.11, страница 74.

Условие.

14.11 a) $-\sqrt{x} = x - 2$;

б) $-\sqrt{x} = 2 - 3x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Дано иррациональное уравнение: $-\sqrt{x} = x - 2$.
Для начала преобразуем уравнение, умножив обе части на $-1$, чтобы избавиться от минуса перед корнем:
$\sqrt{x} = -(x - 2)$
$\sqrt{x} = 2 - x$
Определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$.
1. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
2. Арифметический квадратный корень ($\sqrt{x}$) всегда является неотрицательным числом. Следовательно, правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $2 - x \ge 0$, что означает $x \le 2$.
Объединив оба условия, получаем ОДЗ: $0 \le x \le 2$. Любой корень уравнения должен принадлежать этому промежутку.
Теперь, когда обе части уравнения неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, чтобы избавиться от иррациональности:
$(\sqrt{x})^2 = (2 - x)^2$
$x = 4 - 4x + x^2$
Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 4x - x + 4 = 0$
$x^2 - 5x + 4 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Это можно сделать с помощью теоремы Виета:
Сумма корней $x_1 + x_2 = 5$.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 4$.
Очевидно, что корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.
Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни нашей ОДЗ ($0 \le x \le 2$).
- Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию, так как $0 \le 1 \le 2$.
- Корень $x_2 = 4$ не удовлетворяет условию, так как $4 > 2$. Следовательно, $x = 4$ является посторонним корнем.
Проверим единственный подходящий корень $x=1$ подстановкой в исходное уравнение:
$-\sqrt{1} = 1 - 2$
$-1 = -1$
Равенство верное, значит корень найден правильно.
Ответ: $1$.

б)

Дано иррациональное уравнение: $-\sqrt{x} = 2 - 3x$.
Умножим обе части уравнения на $-1$:
$\sqrt{x} = -(2 - 3x)$
$\sqrt{x} = 3x - 2$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
2. Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как она равна арифметическому квадратному корню: $3x - 2 \ge 0$. Отсюда $3x \ge 2$, то есть $x \ge \frac{2}{3}$.
Совмещая оба условия ($x \ge 0$ и $x \ge \frac{2}{3}$), получаем итоговую ОДЗ: $x \ge \frac{2}{3}$.
Возведем в квадрат обе части уравнения $\sqrt{x} = 3x - 2$:
$(\sqrt{x})^2 = (3x - 2)^2$
$x = 9x^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2 + 4$
$x = 9x^2 - 12x + 4$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$9x^2 - 12x - x + 4 = 0$
$9x^2 - 13x + 4 = 0$
Решим это уравнение через дискриминант:
$a = 9$, $b = -13$, $c = 4$
$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4 = 169 - 144 = 25$
$\sqrt{D} = 5$
Находим корни:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - 5}{2 \cdot 9} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + 5}{2 \cdot 9} = \frac{18}{18} = 1$
Проверим, входят ли корни в ОДЗ ($x \ge \frac{2}{3}$).
- Для $x_1 = \frac{4}{9}$. Сравним $\frac{4}{9}$ с $\frac{2}{3}$. $\frac{2}{3} = \frac{6}{9}$. Так как $\frac{4}{9} < \frac{6}{9}$, то $x_1$ не удовлетворяет ОДЗ и является посторонним корнем.
- Для $x_2 = 1$. $1 > \frac{2}{3}$, поэтому корень удовлетворяет ОДЗ.
Выполним проверку найденного корня $x=1$ подстановкой в исходное уравнение:
$-\sqrt{1} = 2 - 3 \cdot 1$
$-1 = 2 - 3$
$-1 = -1$
Равенство выполняется.
Ответ: $1$.