Номер 14.17, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 14. Функция у = √x, её свойства и график. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 14.17, страница 75.

Условие.

14.17 Дано: $f(x) = \sqrt{x}$, $g(x) = x^2$. Докажите, что:

а) $f(x^4) = g(x)$;

б) $(f(x))^8 = g(x^2)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для того чтобы доказать тождество $f(x^4) = g(x)$, необходимо преобразовать левую и правую части равенства, используя данные определения функций $f(x) = \sqrt{x}$ и $g(x) = x^2$.

Рассмотрим левую часть равенства: $f(x^4)$.
Чтобы найти значение этой функции, подставим выражение $x^4$ в качестве аргумента в функцию $f(x)$:
$f(x^4) = \sqrt{x^4}$.
Используя свойство степени $(\sqrt{a} = a^{1/2})$, получаем:
$\sqrt{x^4} = (x^4)^{1/2} = x^{4 \cdot (1/2)} = x^2$.

Рассмотрим правую часть равенства: $g(x)$.
По условию, $g(x) = x^2$.

Сравнивая результаты преобразований левой и правой частей, мы видим, что они равны:
$x^2 = x^2$.
Таким образом, тождество $f(x^4) = g(x)$ доказано.

Ответ: Равенство доказано, так как обе части тождества равны $x^2$.

б) Для того чтобы доказать тождество $(f(x))^8 = g(x^2)$, необходимо преобразовать левую и правую части равенства.

Рассмотрим левую часть равенства: $(f(x))^8$.
Подставим определение функции $f(x) = \sqrt{x}$:
$(f(x))^8 = (\sqrt{x})^8$.
Используя свойства степеней, упростим выражение:
$(\sqrt{x})^8 = (x^{1/2})^8 = x^{(1/2) \cdot 8} = x^4$.
(Данное выражение определено при $x \ge 0$, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным).

Рассмотрим правую часть равенства: $g(x^2)$.
Чтобы найти значение этой функции, подставим выражение $x^2$ в качестве аргумента в функцию $g(x) = x^2$:
$g(x^2) = (x^2)^2 = x^4$.

Сравнивая результаты преобразований левой и правой частей, мы видим, что они равны:
$x^4 = x^4$.
Таким образом, тождество $(f(x))^8 = g(x^2)$ доказано для всех $x$ из области определения левой части.

Ответ: Равенство доказано, так как обе части тождества равны $x^4$.