Номер 14.19, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 14. Функция у = √x, её свойства и график. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 14.19, страница 75.

Условие.

14.19 Дана функция $y = \sqrt{x}$. Укажите, какому промежутку принадлежит переменная $x$, если на этом промежутке:

а) $y_{\text{наим}} = 0, y_{\text{наиб}} = 1;$

б) $y_{\text{наим}} = 2, y_{\text{наиб}} = 4;$

в) $y_{\text{наим}} = 0, y_{\text{наиб}} = 3;$

г) $y_{\text{наим}} = 1, y_{\text{наиб}} = 5.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи воспользуемся тем, что функция $y = \sqrt{x}$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения ($x \ge 0$). Это значит, что если значения функции $y$ принадлежат промежутку $[y_{наим}, y_{наиб}]$, то для нахождения соответствующего промежутка для переменной $x$ необходимо решить двойное неравенство $y_{наим} \le \sqrt{x} \le y_{наиб}$.

а) Дано, что $y_{наим} = 0$ и $y_{наиб} = 1$. Следовательно, значения функции $y$ удовлетворяют неравенству $0 \le y \le 1$. Подставив $y = \sqrt{x}$, получаем $0 \le \sqrt{x} \le 1$. Возведя все части этого неравенства в квадрат, находим промежуток для $x$: $0^2 \le (\sqrt{x})^2 \le 1^2$, что дает $0 \le x \le 1$. Таким образом, переменная $x$ принадлежит отрезку $[0, 1]$.
Ответ: $x \in [0, 1]$.

б) По условию, $y_{наим} = 2$ и $y_{наиб} = 4$. Это означает, что $2 \le y \le 4$. Заменяем $y$ на $\sqrt{x}$: $2 \le \sqrt{x} \le 4$. Чтобы найти $x$, возводим неравенство в квадрат: $2^2 \le x \le 4^2$, откуда получаем $4 \le x \le 16$. Таким образом, переменная $x$ принадлежит отрезку $[4, 16]$.
Ответ: $x \in [4, 16]$.

в) Дано, что $y_{наим} = 0$ и $y_{наиб} = 3$. Таким образом, $0 \le y \le 3$. Подставляем $y = \sqrt{x}$: $0 \le \sqrt{x} \le 3$. Возводим в квадрат все части неравенства: $0^2 \le x \le 3^2$, что приводит к $0 \le x \le 9$. Таким образом, переменная $x$ принадлежит отрезку $[0, 9]$.
Ответ: $x \in [0, 9]$.

г) По условию, $y_{наим} = 1$ и $y_{наиб} = 5$. Следовательно, $1 \le y \le 5$. Заменяя $y$ на $\sqrt{x}$, имеем $1 \le \sqrt{x} \le 5$. Возводим в квадрат: $1^2 \le x \le 5^2$, и в результате получаем $1 \le x \le 25$. Таким образом, переменная $x$ принадлежит отрезку $[1, 25]$.
Ответ: $x \in [1, 25]$.