Номер 14.14, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 14. Функция у = √x, её свойства и график. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 14.14, страница 75.

Условие.

14.14 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} -x^2, & \text{если } x < 0; \\ \sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0. \end{cases}$

a) Найдите $f(-2)$, $f(0)$, $f(1)$.

б) Постройте график функции $y = f(x)$.

в) Перечислите свойства функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Найдите f(-2), f(0), f(1).

Для нахождения значений функции в заданных точках необходимо определить, какому из условий $x < 0$ или $x \ge 0$ удовлетворяет аргумент, и использовать соответствующую формулу.

1. Найдем $f(-2)$.
Аргумент $x = -2$ удовлетворяет условию $x < 0$. Следовательно, используем формулу $f(x) = -x^2$.
$f(-2) = -(-2)^2 = -(4) = -4$.

2. Найдем $f(0)$.
Аргумент $x = 0$ удовлетворяет условию $x \ge 0$. Следовательно, используем формулу $f(x) = \sqrt{x}$.
$f(0) = \sqrt{0} = 0$.

3. Найдем $f(1)$.
Аргумент $x = 1$ удовлетворяет условию $x \ge 0$. Следовательно, используем формулу $f(x) = \sqrt{x}$.
$f(1) = \sqrt{1} = 1$.

Ответ: $f(-2) = -4$, $f(0) = 0$, $f(1) = 1$.

б) Постройте график функции y = f(x).

График данной кусочно-заданной функции состоит из двух частей, которые строятся на разных промежутках оси $x$.

1. Для $x < 0$ строим график функции $y = -x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(0, 0)$. Мы берем только ту часть параболы, которая лежит левее оси $Oy$ (в третьей координатной четверти). Точка $(0, 0)$ не включается в эту часть графика, так как неравенство $x < 0$ строгое.
Контрольные точки для этой части: $(-1, -1)$, $(-2, -4)$, $(-3, -9)$.

2. Для $x \ge 0$ строим график функции $y = \sqrt{x}$. Это стандартный график квадратного корня, который представляет собой верхнюю ветвь параболы, симметричной оси $Ox$ и открывающейся вправо. График начинается в точке $(0, 0)$ и располагается в первой координатной четверти.
Контрольные точки для этой части: $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(4, 2)$, $(9, 3)$.

Соединив эти две части на одной координатной плоскости, получим итоговый график функции $y = f(x)$. В точке $x=0$ график непрерывен, так как предел функции слева ($\lim_{x \to 0^-} -x^2 = 0$) равен значению функции справа ($f(0) = \sqrt{0} = 0$).

Ответ: График функции представляет собой левую ветвь параболы $y=-x^2$ для $x \in (-\infty; 0)$ и график функции $y=\sqrt{x}$ для $x \in [0; +\infty)$.

в) Перечислите свойства функции.

На основе анализа формулы и графика функции $y = f(x)$ перечислим ее основные свойства:
1. Область определения функции. Функция определена как для $x < 0$, так и для $x \ge 0$, то есть для всех действительных чисел.
$D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений функции. При $x < 0$ значения $y = -x^2$ отрицательны ($y \in (-\infty; 0)$). При $x \ge 0$ значения $y = \sqrt{x}$ неотрицательны ($y \in [0; +\infty)$). Объединяя эти множества, получаем все действительные числа.
$E(f) = (-\infty; +\infty)$.

3. Нули функции. $f(x)=0$ при $\sqrt{x}=0$, что дает $x=0$. При $x<0$ нулей нет.
Единственный нуль функции: $x=0$.

4. Промежутки знакопостоянства.
$f(x) > 0$ при $\sqrt{x} > 0$, то есть при $x \in (0; +\infty)$.
$f(x) < 0$ при $-x^2 < 0$, то есть при $x \in (-\infty; 0)$.

5. Монотонность (промежутки возрастания и убывания). На промежутке $(-\infty; 0)$ функция $y=-x^2$ возрастает. На промежутке $[0; +\infty)$ функция $y=\sqrt{x}$ также возрастает. Так как функция непрерывна в точке $x=0$, она возрастает на всей своей области определения.
Функция является строго возрастающей на $(-\infty; +\infty)$.

6. Четность и нечетность. Область определения симметрична относительно нуля. Проверим условия четности/нечетности. Возьмем $x=2$: $f(2) = \sqrt{2}$, $f(-2) = -(-2)^2 = -4$.
Так как $f(-2) \neq f(2)$ и $f(-2) \neq -f(2)$, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

7. Непрерывность. Функция непрерывна на всей области определения.

8. Ограниченность. Так как область значений $E(f) = (-\infty; +\infty)$, функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

9. Экстремумы. Так как функция строго возрастает на всей области определения, у нее нет точек максимума и минимума.

Ответ:
1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.
3. Нуль функции: $x = 0$.
4. $f(x) > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.
5. Функция строго возрастает на $(-\infty; +\infty)$.
6. Функция общего вида (ни четная, ни нечетная).
7. Непрерывна на $(-\infty; +\infty)$.
8. Не ограничена ни снизу, ни сверху.
9. Экстремумов нет.