Номер 14.13, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 14. Функция у = √x, её свойства и график. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 14.13, страница 75.

Условие.

14.13 a) $\begin{cases} y = -\sqrt{x}, \\ y = \frac{1}{2}x - 4; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = -\sqrt{x}, \\ y = -\frac{1}{2}x. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы найти точки пересечения графиков функций, необходимо решить систему уравнений. Приравняем правые части уравнений:
$y = -\sqrt{x}$
$y = \frac{1}{2}x - 4$
Получаем уравнение:
$-\sqrt{x} = \frac{1}{2}x - 4$
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $x \ge 0$.
Для решения уравнения сделаем замену. Пусть $t = \sqrt{x}$, при этом должно выполняться условие $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.
Подставим замену в уравнение:
$-t = \frac{1}{2}t^2 - 4$
Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$\frac{1}{2}t^2 + t - 4 = 0$
Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
$t^2 + 2t - 8 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = -4$.
Согласно условию замены $t \ge 0$, корень $t_2 = -4$ является посторонним. Таким образом, подходит только корень $t = 2$.
Выполним обратную замену, чтобы найти x:
$\sqrt{x} = 2$
Возведём обе части в квадрат:
$x = 4$
Найденное значение $x=4$ удовлетворяет ОДЗ.
Теперь найдём соответствующее значение y, подставив $x=4$ в любое из исходных уравнений, например, в первое:
$y = -\sqrt{4} = -2$
Проверка по второму уравнению: $y = \frac{1}{2}(4) - 4 = 2 - 4 = -2$.
Значения совпадают. Таким образом, графики функций имеют одну точку пересечения.
Ответ: $(4, -2)$.

б) Аналогично пункту а), приравняем правые части уравнений системы:
$y = -\sqrt{x}$
$y = -\frac{1}{2}x$
Получаем уравнение:
$-\sqrt{x} = -\frac{1}{2}x$
ОДЗ: $x \ge 0$.
Умножим обе части уравнения на -1:
$\sqrt{x} = \frac{1}{2}x$
Перенесём все члены в одну сторону:
$\frac{1}{2}x - \sqrt{x} = 0$
Вынесем $\sqrt{x}$ как общий множитель за скобки:
$\sqrt{x}(\frac{1}{2}\sqrt{x} - 1) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. Отсюда получаем два случая:
1) $\sqrt{x} = 0$, возведя в квадрат, получаем $x_1 = 0$.
2) $\frac{1}{2}\sqrt{x} - 1 = 0$, откуда $\frac{1}{2}\sqrt{x} = 1$, или $\sqrt{x} = 2$. Возведя в квадрат, получаем $x_2 = 4$.
Оба найденных значения для x ($0$ и $4$) принадлежат области допустимых значений.
Теперь найдём соответствующие значения y для каждого x:
Для $x_1 = 0$ находим $y_1 = -\sqrt{0} = 0$. Первая точка пересечения — $(0, 0)$.
Для $x_2 = 4$ находим $y_2 = -\sqrt{4} = -2$. Вторая точка пересечения — $(4, -2)$.
Таким образом, графики данных функций пересекаются в двух точках.
Ответ: $(0, 0)$, $(4, -2)$.