Номер 14.15, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 14. Функция у = √x, её свойства и график. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 14.15, страница 75.

Условие.

14.15 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} x - 2, \text{ если } -2 \leq x \leq 1; \\ -\sqrt{x}, \text{ если } 1 < x \leq 9. \end{cases}$

а) Найдите $f(-2)$, $f(1)$, $f(4)$, $f(9)$.

б) Постройте график функции $y = f(x)$.

в) Перечислите свойства функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Дана кусочно-заданная функция:

$ f(x) = \begin{cases} x - 2, & \text{если } -2 \le x \le 1 \\ -\sqrt{x}, & \text{если } 1 < x \le 9 \end{cases} $

а) Найдите f(-2), f(1), f(4), f(9).

Для нахождения значений функции в заданных точках необходимо определить, какому из интервалов принадлежит аргумент $x$ и использовать соответствующую формулу.

• Для нахождения $f(-2)$, заметим, что $x = -2$ принадлежит промежутку $[-2, 1]$. Следовательно, используем первую формулу: $f(x) = x - 2$.
  $f(-2) = -2 - 2 = -4$.

• Для нахождения $f(1)$, заметим, что $x = 1$ принадлежит промежутку $[-2, 1]$. Используем первую формулу: $f(x) = x - 2$.
  $f(1) = 1 - 2 = -1$.

• Для нахождения $f(4)$, заметим, что $x = 4$ принадлежит промежутку $(1, 9]$. Используем вторую формулу: $f(x) = -\sqrt{x}$.
  $f(4) = -\sqrt{4} = -2$.

• Для нахождения $f(9)$, заметим, что $x = 9$ принадлежит промежутку $(1, 9]$. Используем вторую формулу: $f(x) = -\sqrt{x}$.
  $f(9) = -\sqrt{9} = -3$.

Ответ: $f(-2) = -4$; $f(1) = -1$; $f(4) = -2$; $f(9) = -3$.

б) Постройте график функции y = f(x).

График функции состоит из двух частей.

1. На промежутке $[-2, 1]$ функция задана формулой $y = x - 2$. Это линейная функция, ее график — отрезок прямой. Для построения отрезка найдем координаты его концов:

   • При $x = -2$, $y = -2 - 2 = -4$. Точка $(-2, -4)$.
   • При $x = 1$, $y = 1 - 2 = -1$. Точка $(1, -1)$.

   Обе точки принадлежат графику, так как неравенства нестрогие. Соединяем точки $(-2, -4)$ и $(1, -1)$ отрезком прямой.

2. На промежутке $(1, 9]$ функция задана формулой $y = -\sqrt{x}$. Это ветвь параболы, симметричная относительно оси Ox и расположенная в нижней полуплоскости. Найдем координаты нескольких точек для построения этой части графика:

   • При $x$, стремящемся к 1 справа ($x \to 1+$), $y$ стремится к $-\sqrt{1} = -1$. Точка $(1, -1)$ является "выколотой" для этой части графика, но она совпадает с концом предыдущего отрезка, что обеспечивает непрерывность функции.
   • При $x = 4$, $y = -\sqrt{4} = -2$. Точка $(4, -2)$.
   • При $x = 9$, $y = -\sqrt{9} = -3$. Точка $(9, -3)$. Эта точка принадлежит графику.

   Соединяем точки $(1, -1)$, $(4, -2)$ и $(9, -3)$ плавной кривой.

Объединив обе части на одной координатной плоскости, мы получим искомый график функции $y = f(x)$.

Ответ: График функции представляет собой ломаную линию, состоящую из отрезка прямой, соединяющего точки $(-2, -4)$ и $(1, -1)$, и участка кривой $y = -\sqrt{x}$, идущего от точки $(1, -1)$ до точки $(9, -3)$.

в) Перечислите свойства функции.

На основе определения функции и ее графика перечислим основные свойства:

• Область определения функции: $D(f) = [-2, 1] \cup (1, 9] = [-2, 9]$.

• Область значений функции: На промежутке $[-2, 1]$ значения изменяются от $-4$ до $-1$. На промежутке $(1, 9]$ значения изменяются от $-1$ (не включая) до $-3$. Объединяя эти множества, получаем $E(f) = [-4, -1]$.

• Нули функции: Функция не имеет нулей, так как уравнение $f(x)=0$ не имеет решений ни на одном из промежутков ($x-2=0 \implies x=2 \notin [-2, 1]$; $-\sqrt{x}=0 \implies x=0 \notin (1, 9]$). График не пересекает ось Ox.

• Промежутки знакопостоянства: Так как область значений $E(f) = [-4, -1]$, функция принимает только отрицательные значения. $f(x) < 0$ при всех $x \in [-2, 9]$.

• Монотонность:

  • Функция возрастает на промежутке $[-2, 1]$.
  • Функция убывает на промежутке $(1, 9]$.

• Экстремумы и наибольшее/наименьшее значения:

  • Точка $x = 1$ является точкой локального максимума. $y_{max} = f(1) = -1$. Это также наибольшее значение функции.
  • Наименьшее значение функция принимает на левом конце области определения: $y_{min} = f(-2) = -4$.

• Четность и нечетность: Область определения $D(f) = [-2, 9]$ несимметрична относительно начала координат, следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

• Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения $[-2, 9]$. В точке $x=1$ разрыва нет, так как $f(1) = \lim_{x \to 1+} f(x) = -1$.

• Ограниченность: Функция ограничена и сверху (числом -1), и снизу (числом -4).

Ответ: Свойства функции:
1. $D(f) = [-2, 9]$.
2. $E(f) = [-4, -1]$.
3. Нулей нет.
4. $f(x) < 0$ при $x \in [-2, 9]$.
5. Возрастает на $[-2, 1]$, убывает на $(1, 9]$.
6. $y_{max} = f(1) = -1$, $y_{min} = f(-2) = -4$.
7. Функция общего вида (ни четная, ни нечетная).
8. Непрерывна на $[-2, 9]$.
9. Ограничена.