Номер 14.22, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 14. Функция у = √x, её свойства и график. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 14.22, страница 76.

Условие.

14.22 Дана функция $y = \sqrt{x}$. Укажите, какому промежутку принадлежит переменная $x$, если:

а) $y \in [1; 3];$

б) $y \in [2; +\infty);$

в) $y \in [2; 4];$

г) $y \in [3; +\infty).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи необходимо выразить переменную $x$ через $y$ из данного уравнения функции $y = \sqrt{x}$. Поскольку область определения функции $y=\sqrt{x}$ есть $x \ge 0$, а область значений $y \ge 0$, то для всех заданных промежутков $y$ мы можем однозначно найти $x$.

Возведя обе части уравнения $y = \sqrt{x}$ в квадрат, получим $x = y^2$. Функция $f(y) = y^2$ является возрастающей для всех $y \ge 0$. Это означает, что большему значению $y$ соответствует большее значение $x$. Поэтому при решении неравенств знаки сохраняются.

а) Если $y \in [1; 3]$, то это означает, что $1 \le y \le 3$.

Поскольку $x = y^2$ и функция $y^2$ возрастает на данном промежутке, мы можем возвести в квадрат все части неравенства:

$1^2 \le y^2 \le 3^2$

Подставив $x$ вместо $y^2$, получаем:

$1 \le x \le 9$

Следовательно, переменная $x$ принадлежит промежутку $[1; 9]$.

Ответ: $x \in [1; 9]$.

б) Если $y \in [2; +\infty)$, то это означает, что $y \ge 2$.

Так как $x = y^2$, возведем неравенство в квадрат:

$y^2 \ge 2^2$

Заменяя $y^2$ на $x$, получаем:

$x \ge 4$

Следовательно, переменная $x$ принадлежит промежутку $[4; +\infty)$.

Ответ: $x \in [4; +\infty)$.

в) Если $y \in [2; 4]$, то это означает, что $2 \le y \le 4$.

Используя соотношение $x = y^2$ и свойство возрастания функции $y^2$ на этом промежутке, возводим в квадрат двойное неравенство:

$2^2 \le y^2 \le 4^2$

Подставляем $x$ вместо $y^2$:

$4 \le x \le 16$

Таким образом, переменная $x$ принадлежит промежутку $[4; 16]$.

Ответ: $x \in [4; 16]$.

г) Если $y \in [3; +\infty)$, то это означает, что $y \ge 3$.

Из $x = y^2$ следует, что мы можем возвести неравенство $y \ge 3$ в квадрат:

$y^2 \ge 3^2$

Производим замену $y^2$ на $x$:

$x \ge 9$

Следовательно, переменная $x$ принадлежит промежутку $[9; +\infty)$.

Ответ: $x \in [9; +\infty)$.