Номер 14.28, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 14. Функция у = √x, её свойства и график. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 14.28, страница 76.

Условие.

14.28 Используя график функции $y = -\sqrt{x}$, определите, какому промежутку принадлежит переменная $y$, если:

а) $x \in [1; 3];$

б) $x \in [4; +\infty);$

в) $x \in [2; 4];$

г) $x \in [1; +\infty).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи проанализируем свойства функции $y = -\sqrt{x}$.

График функции $y = -\sqrt{x}$ является ветвью параболы, симметричной графику функции $y = \sqrt{x}$ относительно оси абсцисс. Область определения функции: $x \in [0; +\infty)$. Область значений: $y \in (-\infty; 0]$.

Функция $y = -\sqrt{x}$ является монотонно убывающей на всей своей области определения. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$. Следовательно, для нахождения промежутка значений $y$ на заданном отрезке $[a; b]$ для $x$, нужно найти значения $y(a)$ и $y(b)$. Промежуток для $y$ будет $[y(b); y(a)]$. Если промежуток для $x$ вида $[a; +\infty)$, то промежуток для $y$ будет $(-\infty; y(a)]$.

а) $x \in [1; 3]$

Так как функция убывающая, наименьшее значение $y$ будет при $x=3$, а наибольшее — при $x=1$.
При $x = 1$, $y = -\sqrt{1} = -1$.
При $x = 3$, $y = -\sqrt{3}$.
Следовательно, когда $x$ изменяется от $1$ до $3$, $y$ изменяется от $-1$ до $-\sqrt{3}$.
Ответ: $y \in [-\sqrt{3}; -1]$.

б) $x \in [4; +\infty)$

Наибольшее значение $y$ достигается при наименьшем значении $x$, то есть при $x=4$.
При $x = 4$, $y = -\sqrt{4} = -2$.
Когда $x$ неограниченно возрастает ($x \to +\infty$), значение $y = -\sqrt{x}$ неограниченно убывает ($y \to -\infty$).
Следовательно, $y$ принимает все значения от $-\infty$ до $-2$ включительно.
Ответ: $y \in (-\infty; -2]$.

в) $x \in [2; 4]$

Находим значения $y$ на концах промежутка.
При $x = 2$, $y = -\sqrt{2}$.
При $x = 4$, $y = -\sqrt{4} = -2$.
Поскольку функция убывает, промежуток для $y$ будет $[y(4); y(2)]$.
Ответ: $y \in [-2; -\sqrt{2}]$.

г) $x \in [1; +\infty)$

Наибольшее значение $y$ достигается при $x=1$.
При $x = 1$, $y = -\sqrt{1} = -1$.
Когда $x \to +\infty$, $y \to -\infty$.
Следовательно, переменная $y$ принадлежит промежутку от $-\infty$ до $-1$ включительно.
Ответ: $y \in (-\infty; -1]$.