Номер 14.32, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 14. Функция у = √x, её свойства и график. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 14.32, страница 76.

Условие.

14.32 Постройте график уравнения:

a) $x = y^2$;

б) $(y - x^2)(y^2 - x) = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $x = y^2$

Данное уравнение является уравнением параболы. Оно отличается от более привычного уравнения $y = x^2$ тем, что переменные $x$ и $y$ поменялись местами. Это означает, что парабола будет симметрична не относительно оси $Oy$, а относительно оси $Ox$.

Вершина параболы находится в точке, где $y=0$, что дает $x=0$. Таким образом, вершина находится в начале координат $(0, 0)$.

Поскольку $y^2$ является квадратом числа, это выражение всегда неотрицательно ($y^2 \ge 0$). Следовательно, переменная $x$ также должна быть неотрицательной ($x \ge 0$). Это означает, что ветви параболы направлены вправо, в сторону увеличения значений $x$.

Для более точного построения графика можно составить таблицу значений. Удобнее задавать значения для $y$ и вычислять соответствующие значения $x$:

• Если $y = 0$, то $x = 0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$.
• Если $y = 1$, то $x = 1^2 = 1$. Точка $(1, 1)$.
• Если $y = -1$, то $x = (-1)^2 = 1$. Точка $(1, -1)$.
• Если $y = 2$, то $x = 2^2 = 4$. Точка $(4, 2)$.
• Если $y = -2$, то $x = (-2)^2 = 4$. Точка $(4, -2)$.

Соединив эти точки плавной кривой, получим искомый график.

Ответ: Графиком уравнения является парабола с вершиной в начале координат, симметричная относительно оси абсцисс ($Ox$), ветви которой направлены вправо.

б) $(y - x^2)(y^2 - x) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю в том и только в том случае, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, данное уравнение распадается на два независимых уравнения:

$y - x^2 = 0$ или $y^2 - x = 0$.

Графиком исходного уравнения будет объединение графиков каждого из этих двух уравнений.

1. Рассмотрим первое уравнение: $y - x^2 = 0$, которое можно переписать в виде $y = x^2$. Это каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат $(0, 0)$. Осью симметрии является ось ординат ($Oy$), а ветви направлены вверх.

2. Рассмотрим второе уравнение: $y^2 - x = 0$, которое можно переписать в виде $x = y^2$. Это уравнение параболы, которое было рассмотрено в пункте а). Её вершина также находится в начале координат $(0, 0)$, осью симметрии является ось абсцисс ($Ox$), а ветви направлены вправо.

Следовательно, чтобы построить график уравнения $(y - x^2)(y^2 - x) = 0$, необходимо на одной координатной плоскости изобразить обе параболы: $y = x^2$ и $x = y^2$.

Ответ: Графиком уравнения является объединение двух парабол: параболы $y = x^2$ (с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх) и параболы $x = y^2$ (с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вправо).