Номер 14.26, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 14. Функция у = √x, её свойства и график. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 14.26, страница 76.

Условие.

Используя график функции $y = \sqrt{x}$, запишите промежуток, которому удовлетворяет переменная $x$, если:

14.26 а) $0 \le y \le 2$;

б) $1 < y < 4$;

в) $1 \le y \le 3$;

г) $2 < y < 3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

a) Дано неравенство $0 \le y \le 2$. Поскольку по условию $y = \sqrt{x}$, мы можем подставить это в неравенство и получить $0 \le \sqrt{x} \le 2$. Чтобы найти соответствующий промежуток для $x$, нам нужно найти значения $x$, которые соответствуют граничным значениям $y$.
При $y=0$, имеем $\sqrt{x} = 0$, откуда $x = 0$.
При $y=2$, имеем $\sqrt{x} = 2$, откуда, возведя обе части в квадрат, получаем $x = 2^2 = 4$.
Функция $y = \sqrt{x}$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения ($x \ge 0$). Это означает, что большему значению $y$ соответствует большее значение $x$. Поэтому, если $y$ находится в промежутке $[0, 2]$, то $x$ будет находиться в промежутке $[0, 4]$.
Ответ: $0 \le x \le 4$.

б) Дано неравенство $1 < y < 4$. Подставляем $y = \sqrt{x}$ и получаем $1 < \sqrt{x} < 4$.
Найдем значения $x$, соответствующие границам интервала для $y$.
При $y=1$, имеем $\sqrt{x} = 1$, откуда $x = 1^2 = 1$.
При $y=4$, имеем $\sqrt{x} = 4$, откуда $x = 4^2 = 16$.
Так как функция $y=\sqrt{x}$ возрастающая и неравенства строгие, то для всех $y$ из интервала $(1, 4)$ соответствующие значения $x$ будут лежать в интервале $(1, 16)$.
Ответ: $1 < x < 16$.

в) Дано неравенство $1 \le y \le 3$. Подставляем $y = \sqrt{x}$ и получаем $1 \le \sqrt{x} \le 3$.
Найдем значения $x$, соответствующие границам промежутка для $y$.
При $y=1$, имеем $\sqrt{x} = 1$, откуда $x = 1^2 = 1$.
При $y=3$, имеем $\sqrt{x} = 3$, откуда $x = 3^2 = 9$.
В силу монотонного возрастания функции $y=\sqrt{x}$, если $y$ находится в промежутке $[1, 3]$, то соответствующий $x$ будет находиться в промежутке $[1, 9]$.
Ответ: $1 \le x \le 9$.

г) Дано неравенство $2 < y < 3$. Подставляем $y = \sqrt{x}$ и получаем $2 < \sqrt{x} < 3$.
Найдем значения $x$, соответствующие границам интервала для $y$.
При $y=2$, имеем $\sqrt{x} = 2$, откуда $x = 2^2 = 4$.
При $y=3$, имеем $\sqrt{x} = 3$, откуда $x = 3^2 = 9$.
Так как функция $y=\sqrt{x}$ возрастающая и неравенства строгие, то для всех $y$ из интервала $(2, 3)$ соответствующие значения $x$ будут лежать в интервале $(4, 9)$.
Ответ: $4 < x < 9$.