Номер 14.30, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 14. Функция у = √x, её свойства и график. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 14.30, страница 76.

Условие.

14.30 Решите графически уравнение:

a) $2\sqrt{x} = x$;

б) $2\sqrt{x} = 3 - x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения уравнений графическим методом необходимо представить левую и правую части каждого уравнения в виде отдельных функций, построить их графики на одной координатной плоскости и найти абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков. Эти абсциссы и будут являться решениями исходного уравнения.

а) $2\sqrt{x} = x$

Рассмотрим две функции: $y_1 = 2\sqrt{x}$ и $y_2 = x$.

1. Построим график функции $y_1 = 2\sqrt{x}$.
Это график функции квадратного корня. Область определения функции: $x \ge 0$. График представляет собой ветвь параболы, выходящую из начала координат.
Составим таблицу значений для построения графика:
при $x=0$, $y=2\sqrt{0}=0$; точка $(0, 0)$
при $x=1$, $y=2\sqrt{1}=2$; точка $(1, 2)$
при $x=4$, $y=2\sqrt{4}=4$; точка $(4, 4)$

2. Построим график функции $y_2 = x$.
Это линейная функция, её график — прямая, которая является биссектрисой первого и третьего координатных углов. Она проходит через начало координат под углом $45^\circ$ к оси $Ox$.
Для построения достаточно двух точек, например, $(0, 0)$ и $(4, 4)$.

3. Найдем точки пересечения.
Построив оба графика в одной системе координат, мы увидим, что они пересекаются в двух точках. Координаты этих точек — $(0, 0)$ и $(4, 4)$. Абсциссы этих точек пересечения, $x=0$ и $x=4$, и являются решениями исходного уравнения.

Проверка:
Подставим $x=0$: $2\sqrt{0} = 0 \implies 0=0$. Верно.
Подставим $x=4$: $2\sqrt{4} = 4 \implies 2 \cdot 2 = 4 \implies 4=4$. Верно.

Ответ: $0; 4$

б) $2\sqrt{x} = 3 - x$

Рассмотрим две функции: $y_1 = 2\sqrt{x}$ и $y_2 = 3 - x$.

1. График функции $y_1 = 2\sqrt{x}$ был рассмотрен в предыдущем пункте. Это ветвь параболы, проходящая через точки $(0, 0)$, $(1, 2)$, $(4, 4)$.

2. Построим график функции $y_2 = 3 - x$.
Это линейная функция, её график — прямая. Для построения найдем точки пересечения с осями координат:
при $x=0$, $y=3-0=3$; точка $(0, 3)$ (пересечение с осью $Oy$)
при $y=0$, $0=3-x \implies x=3$; точка $(3, 0)$ (пересечение с осью $Ox$)

3. Найдем точки пересечения.
Построим оба графика в одной системе координат. Из графика видно, что кривая $y_1 = 2\sqrt{x}$ и прямая $y_2 = 3 - x$ пересекаются в одной точке. Визуально можно определить координаты этой точки. Проверим точку с абсциссой $x=1$:
Для первого графика: $y_1(1) = 2\sqrt{1} = 2$.
Для второго графика: $y_2(1) = 3 - 1 = 2$.
Так как значения $y$ совпали, точка $(1, 2)$ является точкой пересечения графиков.

Поскольку функция $y_1 = 2\sqrt{x}$ является возрастающей, а функция $y_2 = 3-x$ — убывающей, они могут иметь не более одной точки пересечения. Следовательно, других решений нет. Абсцисса точки пересечения $x=1$ является единственным решением уравнения.

Проверка:
Подставим $x=1$: $2\sqrt{1} = 3 - 1 \implies 2 \cdot 1 = 2 \implies 2=2$. Верно.

Ответ: $1$