Номер 14.24, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 14. Функция у = √x, её свойства и график. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 14.24, страница 76.

Условие.

Используя график функции $y = \sqrt{x}$, запишите промежуток, которому удовлетворяет переменная $y$, если:

14.24 a) $0 \le x \le 4$;

б) $2 < x < 9$;

в) $4 \le x \le 9$;

г) $3 < x < 4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения данной задачи мы будем использовать свойство монотонности функции $y = \sqrt{x}$. Эта функция является возрастающей на всей своей области определения, то есть для $x \ge 0$. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$. Графически это выражается в том, что график функции постоянно "идёт вверх" при движении слева направо.

Таким образом, чтобы найти промежуток значений для $y$, мы можем применить операцию извлечения квадратного корня к границам заданного промежутка для $x$, сохраняя тип неравенства (строгое или нестрогое).

a) Если $0 \le x \le 4$.
Поскольку функция $y = \sqrt{x}$ возрастающая, мы можем применить ее ко всем частям неравенства: $\sqrt{0} \le \sqrt{x} \le \sqrt{4}$.
Подставляем $y = \sqrt{x}$ и вычисляем значения корней: $\sqrt{0} = 0$, $\sqrt{4} = 2$.
В результате получаем промежуток для $y$: $0 \le y \le 2$.
Ответ: $0 \le y \le 2$.

б) Если $2 < x < 9$.
Применяем операцию извлечения корня к строгому неравенству: $\sqrt{2} < \sqrt{x} < \sqrt{9}$.
Подставляем $y = \sqrt{x}$ и вычисляем известный корень: $\sqrt{9} = 3$.
Получаем промежуток для $y$: $\sqrt{2} < y < 3$.
Ответ: $\sqrt{2} < y < 3$.

в) Если $4 \le x \le 9$.
Применяем операцию извлечения корня к нестрогому неравенству: $\sqrt{4} \le \sqrt{x} \le \sqrt{9}$.
Подставляем $y = \sqrt{x}$ и вычисляем значения корней: $\sqrt{4} = 2$, $\sqrt{9} = 3$.
Получаем промежуток для $y$: $2 \le y \le 3$.
Ответ: $2 \le y \le 3$.

г) Если $3 < x < 4$.
Применяем операцию извлечения корня к строгому неравенству: $\sqrt{3} < \sqrt{x} < \sqrt{4}$.
Подставляем $y = \sqrt{x}$ и вычисляем известный корень: $\sqrt{4} = 2$.
Получаем промежуток для $y$: $\sqrt{3} < y < 2$.
Ответ: $\sqrt{3} < y < 2$.