Номер 14.9, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 14. Функция у = √x, её свойства и график. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 14.9, страница 74.

Условие.

14.9 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = -\sqrt{x}$:

а) на отрезке $[0; 4]$;

б) на луче $[3; +\infty)$;

в) на отрезке $[1; 9]$;

г) на полуинтервале $(2; 9]$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = -\sqrt{x}$ на заданных промежутках, проанализируем её поведение.

Область определения функции: $x \ge 0$. Функция $y = \sqrt{x}$ является монотонно возрастающей. Так как заданная функция $y = -\sqrt{x}$ представляет собой функцию $y = \sqrt{x}$ с коэффициентом $-1$, она является монотонно убывающей на всей своей области определения $[0; +\infty)$.

Это означает, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_1 < x_2$, то $y(x_1) > y(x_2)$. Таким образом, на любом отрезке $[a; b]$ наибольшее значение функция будет принимать в левой границе (в точке $a$), а наименьшее — в правой границе (в точке $b$).

а) на отрезке [0; 4];

Поскольку функция монотонно убывает, ее наибольшее значение на отрезке $[0; 4]$ достигается в точке $x=0$, а наименьшее — в точке $x=4$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(0) = -\sqrt{0} = 0$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(4) = -\sqrt{4} = -2$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $-2$, наибольшее значение равно $0$.

б) на луче [3; +∞);

На этом промежутке функция также монотонно убывает. Наибольшее значение достигается в самой левой точке промежутка, то есть при $x=3$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(3) = -\sqrt{3}$.
Поскольку $x$ может неограниченно возрастать ($x \to +\infty$), значение функции $y = -\sqrt{x}$ будет неограниченно убывать ($y \to -\infty$). Следовательно, наименьшего значения на этом луче не существует.

Ответ: наибольшее значение функции равно $-\sqrt{3}$, а наименьшее значение не существует.

в) на отрезке [1; 9];

На отрезке $[1; 9]$ функция монотонно убывает. Наибольшее значение достигается в левой границе отрезка ($x=1$), а наименьшее — в правой ($x=9$).
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(1) = -\sqrt{1} = -1$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(9) = -\sqrt{9} = -3$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $-3$, наибольшее значение равно $-1$.

г) на полуинтервале (2; 9].

На этом промежутке функция монотонно убывает. Правая граница $x=9$ принадлежит промежутку, поэтому в этой точке функция достигает своего наименьшего значения.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(9) = -\sqrt{9} = -3$.
Левая граница $x=2$ не принадлежит промежутку. При $x$, стремящемся к $2$ справа ($x \to 2^+$), значения функции $y$ стремятся к $-\sqrt{2}$. Однако это значение не достигается, так как $x$ всегда строго больше $2$. Для любого значения функции на этом интервале можно найти большее, выбрав $x$ ближе к $2$. Следовательно, наибольшего значения на данном полуинтервале не существует.

Ответ: наименьшее значение функции равно $-3$, а наибольшее значение не существует.