Номер 14.2, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 14. Функция у = √x, её свойства и график. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 14.2, страница 72.

Условие.

14.2 Используя график функции $y = \sqrt{x}$, найдите:

а) значения $y$ при $x = 0; 1; 2\frac{1}{4}$;

б) значения $x$, если $y = 2; 2,5; 4$;

в) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке $[1; 9];

г) при каких значениях $x$ график функции расположен выше прямой $y = 2$, ниже прямой $y = 2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы найти значения функции $y = \sqrt{x}$ при заданных значениях $x$, необходимо подставить эти значения в уравнение функции.
При $x = 0$, $y = \sqrt{0} = 0$.
При $x = 1$, $y = \sqrt{1} = 1$.
При $x = 2\frac{1}{4}$, преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$. Тогда $y = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2} = 1,5$.
Ответ: при $x=0$, $y=0$; при $x=1$, $y=1$; при $x=2\frac{1}{4}$, $y=1,5$.

б) Чтобы найти значения $x$, для которых функция принимает заданные значения $y$, нужно решить уравнение $y = \sqrt{x}$ относительно $x$. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат, получив $x = y^2$.
Если $y = 2$, то $x = 2^2 = 4$.
Если $y = 2,5$, то $x = (2,5)^2 = 6,25$.
Если $y = 4$, то $x = 4^2 = 16$.
Ответ: если $y=2$, то $x=4$; если $y=2,5$, то $x=6,25$; если $y=4$, то $x=16$.

в) Функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей на всей своей области определения ($x \ge 0$). Это означает, что для любых двух значений $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_1 < x_2$, то $\sqrt{x_1} < \sqrt{x_2}$.
Следовательно, на отрезке $[1; 9]$ наименьшее значение функция принимает при наименьшем значении $x$, то есть при $x=1$, а наибольшее значение — при наибольшем значении $x$, то есть при $x=9$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = \sqrt{1} = 1$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = \sqrt{9} = 3$.
Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[1; 9]$ равно 1, а наибольшее — 3.

г) Для нахождения значений $x$, при которых график функции расположен выше или ниже прямой $y=2$, необходимо решить соответствующие неравенства.
1. График функции $y = \sqrt{x}$ расположен выше прямой $y = 2$. Это соответствует неравенству $y > 2$, или $\sqrt{x} > 2$. Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства: $(\sqrt{x})^2 > 2^2$ $x > 4$.
2. График функции $y = \sqrt{x}$ расположен ниже прямой $y = 2$. Это соответствует неравенству $y < 2$, или $\sqrt{x} < 2$. Область определения функции $y=\sqrt{x}$ — это $x \ge 0$. Возводим обе части неравенства $\sqrt{x} < 2$ в квадрат: $(\sqrt{x})^2 < 2^2$ $x < 4$. Учитывая область определения, получаем двойное неравенство: $0 \le x < 4$.
Ответ: график функции расположен выше прямой $y=2$ при $x > 4$; график расположен ниже прямой $y=2$ при $0 \le x < 4$.