Номер 14.7, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 14. Функция у = √x, её свойства и график. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 14.7, страница 74.

Условие.

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = \sqrt{x}$:

14.7 a) На отрезке $ [0; 1] $;

б) на полуинтервале $ (3; 9] $;

в) на отрезке $ [1; 4] $;

г) на полуинтервале $ [4; 7) $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = \sqrt{x}$ на заданных промежутках воспользуемся ее свойствами. Функция $y = \sqrt{x}$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения ($x \ge 0$). Это означает, что чем больше значение аргумента $x$, тем больше значение функции $y$.

а) На отрезке [0; 1]

Отрезок $[0; 1]$ является замкнутым интервалом. Поскольку функция $y=\sqrt{x}$ возрастает, свое наименьшее значение она принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.
Наименьшее значение функции: $y_{наим} = y(0) = \sqrt{0} = 0$.
Наибольшее значение функции: $y_{наиб} = y(1) = \sqrt{1} = 1$.
Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 1.

б) на полуинтервале (3; 9]

Промежуток $(3; 9]$ является полуинтервалом, который не включает левую границу $x=3$, но включает правую $x=9$.
Так как функция возрастающая, наибольшее значение достигается в самой правой точке промежутка, которая ему принадлежит, то есть при $x=9$.
$y_{наиб} = y(9) = \sqrt{9} = 3$.
Левая граница $x=3$ не входит в промежуток. Значения функции на этом полуинтервале будут больше $\sqrt{3}$, но самого значения $\sqrt{3}$ функция не достигает. Можно взять значение $x$ сколь угодно близко к 3 (например, 3,000001), и значение функции $y$ будет сколь угодно близко к $\sqrt{3}$. Однако точки, в которой достигалось бы наименьшее значение, в данном промежутке нет. Поэтому наименьшего значения у функции на этом полуинтервале не существует.
Ответ: наибольшее значение 3, наименьшего значения не существует.

в) на отрезке [1; 4]

Отрезок $[1; 4]$ является замкнутым интервалом. Наименьшее и наибольшее значения достигаются на его концах.
Наименьшее значение функции (на левом конце):
$y_{наим} = y(1) = \sqrt{1} = 1$.
Наибольшее значение функции (на правом конце):
$y_{наиб} = y(4) = \sqrt{4} = 2$.
Ответ: наименьшее значение 1, наибольшее значение 2.

г) на полуинтервале [4; 7)

Промежуток $[4; 7)$ — это полуинтервал, включающий левую границу $x=4$ и не включающий правую $x=7$.
Наименьшее значение достигается в самой левой точке промежутка, которая ему принадлежит, то есть при $x=4$.
$y_{наим} = y(4) = \sqrt{4} = 2$.
Правая граница $x=7$ не входит в промежуток. Значения функции на этом полуинтервале стремятся к $\sqrt{7}$, но никогда его не достигают. Для любого значения функции, меньшего чем $\sqrt{7}$, можно найти другое значение, которое будет еще больше и все еще меньше $\sqrt{7}$. Таким образом, наибольшего значения у функции на этом полуинтервале не существует.
Ответ: наименьшее значение 2, наибольшего значения не существует.