Номер 14.1, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 14. Функция у = √x, её свойства и график. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 14.1, страница 72.

Условие.

14.1 Постройте график функции $y = \sqrt{x}$.

С помощью графика найдите:

а) значения $y$ при $x = 4; 7; 16;

б) значения $x$, если $y = 0; 1; 3;

в) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке $[0; 4];

г) при каких значениях $x$ график функции расположен выше прямой $y = 1$, ниже прямой $y = 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для построения графика функции $y = \sqrt{x}$ сначала определим её свойства. Область определения функции — все неотрицательные числа, то есть $x \ge 0$. Область значений функции — также все неотрицательные числа, $y \ge 0$. График начинается в точке $(0; 0)$.

Составим таблицу значений для нескольких ключевых точек, чтобы построить график. Удобно выбирать такие значения $x$, которые являются полными квадратами:

• Если $x=0$, то $y=\sqrt{0}=0$. Точка $(0; 0)$.
• Если $x=1$, то $y=\sqrt{1}=1$. Точка $(1; 1)$.
• Если $x=4$, то $y=\sqrt{4}=2$. Точка $(4; 2)$.
• Если $x=9$, то $y=\sqrt{9}=3$. Точка $(9; 3)$.
• Если $x=16$, то $y=\sqrt{16}=4$. Точка $(16; 4)$.

Соединив эти точки плавной линией, мы получим график функции $y = \sqrt{x}$, который представляет собой ветвь параболы, лежащую в первой координатной четверти.

Теперь, используя построенный график, ответим на вопросы.

а) значения у при x = 4; 7; 16;
Чтобы найти значение $y$ по известному $x$, нужно найти на оси абсцисс (горизонтальной) заданное значение $x$, подняться от него вертикально до пересечения с графиком, а затем провести горизонтальную линию до пересечения с осью ординат (вертикальной).

• При $x=4$, из точки $x=4$ на оси абсцисс поднимаемся к графику и видим, что соответствующее значение на оси ординат равно 2. Итак, $y=2$.
• При $x=7$, находим на оси абсцисс точку 7. Она находится между 4 и 9. Соответствующее значение $y$ будет находиться между $\sqrt{4}=2$ и $\sqrt{9}=3$. По графику можно определить примерное значение $y \approx 2.65$. Точное значение равно $y=\sqrt{7}$.
• При $x=16$, находим по графику, что соответствующее значение $y$ равно 4.

Ответ: при $x=4, y=2$; при $x=7, y=\sqrt{7}$; при $x=16, y=4$.

б) значения x, если y = 0; 1; 3;
Чтобы найти значение $x$ по известному $y$, нужно найти на оси ординат заданное значение $y$, провести горизонтальную линию до пересечения с графиком, а затем опуститься вертикально до пересечения с осью абсцисс.

• Если $y=0$, точка на графике — это начало координат $(0;0)$, следовательно, $x=0$.
• Если $y=1$, проводим прямую $y=1$ до пересечения с графиком. Точка пересечения — $(1;1)$, значит $x=1$.
• Если $y=3$, проводим прямую $y=3$ до пересечения с графиком. Точка пересечения — $(9;3)$, значит $x=9$.

Ответ: при $y=0, x=0$; при $y=1, x=1$; при $y=3, x=9$.

в) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [0; 4];
Функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей на всей своей области определения. Это значит, что чем больше значение $x$, тем больше значение $y$. Следовательно, на отрезке $[0; 4]$ наименьшее значение функция примет в его начале (при $x=0$), а наибольшее — в его конце (при $x=4$).

• Наименьшее значение: $y_{наим} = y(0) = \sqrt{0} = 0$.
• Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(4) = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[0; 4]$ равно 0, наибольшее значение равно 2.

г) при каких значениях x график функции расположен выше прямой y = 1, ниже прямой y = 1.
Проведем на графике горизонтальную прямую $y=1$. Она пересекает график функции $y=\sqrt{x}$ в точке $(1;1)$.

• График функции $y=\sqrt{x}$ расположен выше прямой $y=1$ там, где значения $y$ больше 1. Это происходит для всех точек графика, которые лежат правее точки пересечения, то есть при $x > 1$.
• График функции $y=\sqrt{x}$ расположен ниже прямой $y=1$ там, где значения $y$ меньше 1. Это происходит для всех точек графика, которые лежат левее точки пересечения. Учитывая область определения функции ($x \ge 0$), получаем интервал $0 \le x < 1$.

Ответ: график функции расположен выше прямой $y=1$ при $x \in (1; +\infty)$; ниже прямой $y=1$ при $x \in [0; 1)$.