Номер 14.6, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 14. Функция у = √x, её свойства и график. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 14.6, страница 73.

Условие.

14.6 Укажите, на каком промежутке выпукла вверх, а на каком выпукла вниз функция, график которой изображён:

а) на рис. 4;

б) на рис. 5;

в) на рис. 6;

г) на рис. 7.

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) на рис. 4;

Функция называется выпуклой вверх на промежутке, если ее график на этом промежутке расположен не ниже любой соединяющей его точки хорды. Визуально такая кривая изгибается вниз (форма ∩).
Функция называется выпуклой вниз на промежутке, если ее график на этом промежутке расположен не выше любой своей хорды. Визуально такая кривая изгибается вверх (форма ∪).
На графике, изображенном на рисунке 4, функция определена на отрезке $[-1, 4]$. В точке $x=1$ происходит смена направления выпуклости. Это точка перегиба, в которой первая производная не определена (график имеет излом).
На промежутке $[-1, 1]$ график функции изогнут вниз, следовательно, функция выпукла вверх.
На промежутке $[1, 4]$ график функции изогнут вверх, следовательно, функция выпукла вниз.

Ответ: функция выпукла вверх на промежутке $[-1, 1]$ и выпукла вниз на промежутке $[1, 4]$.

б) на рис. 5;

Функция, изображенная на рисунке 5, имеет разрыв в точке $x=0$, где проходит вертикальная асимптота. Область определения функции — $(-\infty, 0) \cup (0, 4]$.
На промежутке $(-\infty, 0)$ график функции изогнут вниз, значит, функция является выпуклой вверх.
На промежутке $(0, 4]$ график функции изогнут вверх, значит, функция является выпуклой вниз.

Ответ: функция выпукла вверх на промежутке $(-\infty, 0)$ и выпукла вниз на промежутке $(0, 4]$.

в) на рис. 6;

Функция, изображенная на рисунке 6, определена на отрезке $[-3, 1]$. График имеет точки излома (острые пики) при $x=-2$ и $x=0$. В точке $x=-2$ меняется направление выпуклости.
На промежутке $[-3, -2]$ график функции изогнут вверх, что соответствует выпуклости вниз.
На промежутке $[-2, 1]$ график функции изогнут вниз, что соответствует выпуклости вверх. Отметим, что в точке излома $x=0$ направление выпуклости не меняется.

Ответ: функция выпукла вверх на промежутке $[-2, 1]$ и выпукла вниз на промежутке $[-3, -2]$.

г) на рис. 7.

Функция, изображенная на рисунке 7, имеет разрыв в точке $x=0$ (вертикальная асимптота) и точку излома при $x=-1$. Область определения функции — $[-3, 0) \cup (0, \infty)$.
На промежутке $[-3, -1]$ график функции изогнут вверх, следовательно, функция выпукла вниз.
На промежутке $[-1, 0)$ график функции изогнут вниз, следовательно, функция выпукла вверх.
На промежутке $(0, \infty)$ график функции также изогнут вверх, следовательно, функция выпукла вниз.

Ответ: функция выпукла вверх на промежутке $[-1, 0)$ и выпукла вниз на объединении промежутков $[-3, -1] \cup (0, \infty)$.