Номер 13.11, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 13. Множество действительных чисел. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 13.11, страница 70.

Условие.

13.11 Сравните числа $x$ и $y$, если известно, что:

a) $x = y - 5$;

б) $x + 1 = 2y$, где $y > 1$;

в) $y + 3 = x + 2\sqrt{2}$;

г) $y - x = 1 + y^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы сравнить числа $x$ и $y$, выразим их разность. Из данного равенства $x = y - 5$ следует, что $x - y = -5$.
Так как разность $x - y$ является отрицательным числом ($-5 < 0$), то $x < y$.
Ответ: $x < y$.

б) Чтобы сравнить числа $x$ и $y$, выразим их разность. Из равенства $x + 1 = 2y$ выразим $x$: $x = 2y - 1$.
Теперь найдем разность $x - y$:
$x - y = (2y - 1) - y = y - 1$.
По условию задачи дано, что $y > 1$. Из этого следует, что разность $y - 1 > 0$.
Так как $x - y > 0$, то $x > y$.
Ответ: $x > y$.

в) Чтобы сравнить числа $x$ и $y$, выразим их разность. Преобразуем данное равенство $y + 3 = x + 2\sqrt{2}$ так, чтобы получить разность $y - x$:
$y - x = 2\sqrt{2} - 3$.
Теперь нам нужно определить знак выражения $2\sqrt{2} - 3$. Для этого сравним числа $2\sqrt{2}$ и $3$.
Возведем оба числа в квадрат (так как они оба положительные, знак неравенства сохранится):
$(2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$.
$3^2 = 9$.
Поскольку $8 < 9$, то и $2\sqrt{2} < 3$.
Следовательно, разность $2\sqrt{2} - 3$ отрицательна.
Получаем, что $y - x < 0$, а это значит, что $y < x$.
Ответ: $x > y$.

г) Чтобы сравнить числа $x$ и $y$, рассмотрим их разность $y - x$, которая дана в условии:
$y - x = 1 + y^2$.
Рассмотрим правую часть равенства. Квадрат любого действительного числа $y$ является неотрицательным: $y^2 \geq 0$.
Следовательно, выражение $1 + y^2$ всегда будет больше или равно 1: $1 + y^2 \geq 1$.
Таким образом, $1 + y^2$ всегда является положительным числом.
Значит, $y - x > 0$, из чего следует, что $y > x$.
Ответ: $x < y$.