Номер 11.10, страница 63, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 11. Понятие квадратного корня из неотрицательного числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 11.10, страница 63.

Условие.

11.10 При каких значениях $a$ имеет смысл выражение:

а) $\sqrt{a}$;

б) $\sqrt{a^2}$;

в) $\sqrt{-a}$;

г) $\sqrt{\frac{1}{a}}$?

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Выражение с квадратным корнем имеет смысл (определено в области действительных чисел) тогда, когда подкоренное выражение, или радиканд, неотрицательно, то есть больше или равно нулю.

а) В выражении $\sqrt{a}$ подкоренное выражение равно $a$. Для того чтобы это выражение имело смысл, должно выполняться неравенство:
$a \ge 0$
Это означает, что переменная $a$ может принимать значения ноль или любое положительное число.
Ответ: $a \ge 0$.

б) В выражении $\sqrt{a^2}$ подкоренное выражение равно $a^2$. Квадрат любого действительного числа (будь то положительное, отрицательное или ноль) всегда является неотрицательным числом.
Например, если $a = 2$, то $a^2 = 4 \ge 0$. Если $a = -2$, то $a^2 = 4 \ge 0$. Если $a = 0$, то $a^2 = 0 \ge 0$.
Таким образом, неравенство $a^2 \ge 0$ выполняется для любого действительного значения $a$.
Ответ: $a$ — любое число.

в) В выражении $\sqrt{-a}$ подкоренное выражение равно $-a$. Для того чтобы выражение имело смысл, должно выполняться неравенство:
$-a \ge 0$
Чтобы найти значения $a$, умножим обе части неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$a \le 0$
Это означает, что переменная $a$ может принимать значения ноль или любое отрицательное число.
Ответ: $a \le 0$.

г) В выражении $\sqrt{\frac{1}{a}}$ необходимо учесть два условия, чтобы оно имело смысл:
1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $\frac{1}{a} \ge 0$.
2. Знаменатель дроби, находящейся под корнем, не может быть равен нулю: $a \ne 0$.
Рассмотрим первое условие: $\frac{1}{a} \ge 0$. Так как числитель дроби равен $1$ и не может быть равен нулю, то и сама дробь не может равняться нулю. Следовательно, условие сводится к строгому неравенству:
$\frac{1}{a} > 0$
Дробь положительна в том случае, когда ее числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Поскольку числитель $1$ является положительным числом, то и знаменатель $a$ также должен быть положительным.
$a > 0$
Это условие ($a$ — строго положительное число) автоматически удовлетворяет и второму требованию ($a \ne 0$).
Ответ: $a > 0$.