Номер 9, страница 57, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №1. Вариант 1. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 9, страница 57.

Условие.

9 Докажите, что значение выражения $\left(\frac{2ab}{a^2 - b^2} + \frac{a - b}{2a + 2b}\right) \cdot \frac{2a}{a + b} + \frac{b}{b - a}$ не зависит от значений входящих в него переменных.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для того чтобы доказать, что значение выражения не зависит от входящих в него переменных, необходимо упростить данное выражение. Будем выполнять преобразования по действиям.

Исходное выражение: $ \left(\frac{2ab}{a^2 - b^2} + \frac{a - b}{2a + 2b}\right) \cdot \frac{2a}{a + b} + \frac{b}{b - a} $

1. Упростим выражение в скобках: $ \frac{2ab}{a^2 - b^2} + \frac{a - b}{2a + 2b} $

Сначала разложим знаменатели на множители. Для первого знаменателя применим формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $. Во втором знаменателе вынесем общий множитель за скобки: $ 2a + 2b = 2(a+b) $.

$ \frac{2ab}{(a-b)(a+b)} + \frac{a - b}{2(a+b)} $

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $ 2(a-b)(a+b) $. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на 2, а второй — на $ (a-b) $.

$ \frac{2ab \cdot 2}{2(a-b)(a+b)} + \frac{(a-b) \cdot (a-b)}{2(a+b) \cdot (a-b)} = \frac{4ab + (a-b)^2}{2(a-b)(a+b)} $

Раскроем в числителе квадрат разности по формуле $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $ и приведем подобные слагаемые.

$ \frac{4ab + a^2 - 2ab + b^2}{2(a-b)(a+b)} = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{2(a-b)(a+b)} $

Числитель представляет собой полный квадрат суммы: $ a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 $.

$ \frac{(a+b)^2}{2(a-b)(a+b)} $

Сократим дробь на общий множитель $ (a+b) $ (при условии, что $ a+b \neq 0 $).

$ \frac{a+b}{2(a-b)} $

2. Выполним умножение.

Результат, полученный в первом действии, умножим на дробь $ \frac{2a}{a+b} $.

$ \frac{a+b}{2(a-b)} \cdot \frac{2a}{a+b} $

Сократим общие множители 2 и $ (a+b) $ в числителе и знаменателе.

$ \frac{\cancel{a+b}}{\cancel{2}(a-b)} \cdot \frac{\cancel{2}a}{\cancel{a+b}} = \frac{a}{a-b} $

3. Выполним сложение.

К результату второго действия прибавим последнюю дробь из исходного выражения: $ \frac{b}{b-a} $.

$ \frac{a}{a-b} + \frac{b}{b-a} $

Знаменатели дробей противоположны: $ b-a = -(a-b) $. Вынесем минус из знаменателя второй дроби, изменив знак перед дробью.

$ \frac{a}{a-b} + \frac{b}{-(a-b)} = \frac{a}{a-b} - \frac{b}{a-b} $

Теперь вычтем дроби с одинаковыми знаменателями.

$ \frac{a-b}{a-b} = 1 $

Преобразования верны при условии, что все знаменатели в исходном выражении не равны нулю, то есть при $ a \neq b $ и $ a \neq -b $. В результате упрощения мы получили число 1. Так как это значение является константой, оно не зависит от значений переменных $a$ и $b$. Что и требовалось доказать.

Ответ: значение выражения равно 1, оно не зависит от значений входящих в него переменных.