Номер 6, страница 57, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №1. Вариант 1. Глава 1. Алгебраические дроби. Часть 2 - номер 6, страница 57.

Условие.

6 Упростите выражение

$\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b+c}}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b+c}} \cdot \left(1 + \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для упрощения данного выражения выполним преобразования по частям.

1. Упростим первую часть выражения (многоэтажную дробь).

Приведем к общему знаменателю $a(b+c)$ числитель и знаменатель этой дроби.

Числитель:

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b+c} = \frac{1 \cdot (b+c)}{a(b+c)} + \frac{1 \cdot a}{a(b+c)} = \frac{b+c+a}{a(b+c)}$

Знаменатель:

$\frac{1}{a} - \frac{1}{b+c} = \frac{1 \cdot (b+c)}{a(b+c)} - \frac{1 \cdot a}{a(b+c)} = \frac{b+c-a}{a(b+c)}$

Теперь разделим полученный числитель на полученный знаменатель. Для этого умножим числитель на дробь, обратную знаменателю:

$\frac{\frac{a+b+c}{a(b+c)}}{\frac{b+c-a}{a(b+c)}} = \frac{a+b+c}{a(b+c)} \cdot \frac{a(b+c)}{b+c-a}$

Сократив общий множитель $a(b+c)$, получим:

$\frac{a+b+c}{b+c-a}$

2. Упростим вторую часть выражения (выражение в скобках).

Приведем к общему знаменателю $2bc$:

$1 + \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{2bc}{2bc} + \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{2bc + b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

Сгруппируем слагаемые в числителе, чтобы выделить формулу квадрата суммы $(b+c)^2 = b^2+2bc+c^2$:

$\frac{(b^2 + 2bc + c^2) - a^2}{2bc} = \frac{(b+c)^2 - a^2}{2bc}$

Применим к числителю формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$\frac{((b+c)-a)((b+c)+a)}{2bc} = \frac{(b+c-a)(a+b+c)}{2bc}$

3. Перемножим полученные упрощенные выражения.

Теперь умножим результат первого действия на результат второго:

$\frac{a+b+c}{b+c-a} \cdot \frac{(b+c-a)(a+b+c)}{2bc}$

Сократим общий множитель $(b+c-a)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{a+b+c}{1} \cdot \frac{a+b+c}{2bc} = \frac{(a+b+c)^2}{2bc}$

Ответ: $\frac{(a+b+c)^2}{2bc}$